齿轮模数与径节

计算标准直齿圆柱齿轮的模数、齿距、分度圆直径、齿顶圆/齿根圆直径及中心距

输入参数

D

分度圆直径

Z

齿数

公式说明

齿距

t = \dfrac{\pi D}{Z} = \pi m

齿距 $t$ = 相邻两齿在分度圆上的弧长 = $D$ × π / $Z$ ，等于 π 乘模数 $m$ ，相同模数的齿轮齿距相同。

模数

m = \dfrac{D}{Z} = \dfrac{t}{\pi}

模数 $m$ = 分度圆直径 $D$ 除以齿数 $Z$ ，是齿轮最基本的尺寸参数，互相啮合的齿轮必须具有相同的模数。

分度圆直径

D = m \cdot Z

分度圆直径 $D$ = 模数 $m$ × 齿数 $Z$ ，分度圆是定义齿轮各部分尺寸的基准圆。

齿顶圆直径

d_a = D + 2m = m(Z + 2)

齿顶圆 $d_a$ 由齿顶高 $h_a = m$ 确定，da = D + 2m = m(Z + 2)。

齿根圆直径

d_f = D - 2.5m = m(Z - 2.5)

齿根圆 $d_f$ 由齿根高 $h_f = 1.25m$ 确定（含顶隙 c* = 0.25m），df = D − 2.5m。

全齿高

h = h_a + h_f = 2.25m

全齿高 $h$ = 齿顶高 + 齿根高 = m + 1.25m = 2.25m，约为模数的 2 倍。

中心距

C = \dfrac{D_1 + D_2}{2} = \dfrac{m(Z_1 + Z_2)}{2}

一对啮合齿轮共用相同模数，中心距 $C$ = 两分度圆半径之和 = ( $D_1$ + $D_2$ ) / 2。

知识点

模数是标准化尺寸参数

模数 m（单位 mm）是国家标准规定的标准值（ISO 54 系列），所有齿形尺寸均以 m 为基准：齿距 = πm，全齿高 ≈ 2.25m，圆角半径 ≈ 0.38m。只有相同模数的齿轮才能啮合使用。

分度圆与节点

分度圆是直径 D = mZ 的虚拟基准圆，渐开线齿廓在此圆上生成。一对啮合齿轮的分度圆作无滑动的纯滚动接触，两分度圆的切点即为节点，位于连心线上。

标准模数系列

ISO 54 标准模数（mm）：1、1.25、1.5、2、2.5、3、4、5、6、8、10、12、16、20、25、32、40、50。设计时应在满足强度和刚度要求的前提下，选取最小的标准模数值。

例题

一个齿数为 $Z_1=40$ 的齿轮，与分度圆直径为 $D_2=60\,\text{mm}$ 、齿数为 $Z_2=20$ 的齿轮相互啮合，求该齿轮的分度圆直径及两齿轮的中心距。

第一步 — 由已知齿轮求模数

m = \dfrac{D_2}{Z_2} = \dfrac{60}{20} = 3 \text{ (mm)}

第二步 — 求第一个齿轮的分度圆直径（模数相同）

D_1 = m \times Z_1 = 3 \times 40 = 120 \text{ (mm)}

第三步 — 求中心距

C = \dfrac{D_1 + D_2}{2} = \dfrac{120 + 60}{2} = 90 \text{ (mm)}

结论：D₁ = 120 mm，中心距 C = 90 mm。两个齿轮模数均为 3，满足啮合条件，可在此中心距处正常传动。

知识扩展

•英制中使用径节 $P_d$ （单位：齿/英寸）代替模数，两者关系为 $P_d$ = 25.4/m。例如模数 3 mm 对应径节约 8.47 齿/英寸。
•斜齿圆柱齿轮使用法面模数 $m_n$ （垂直于轮齿方向）和端面模数 $m_t$ = $m_n$ /cos(β)，两者之间相差螺旋角 β，中心距公式也需对应修正。
•变位齿轮通过引入变位系数 x，在不改变模数和齿数的前提下调整中心距，正变位（x>0）可增大齿根厚度、提高承载能力；负变位则减薄轮齿。变位量以模数的倍数表示。

齿轮模数与径节

计算标准直齿圆柱齿轮的模数、齿距、分度圆直径、齿顶圆/齿根圆直径及中心距

输入参数

D

分度圆直径

Z

齿数

公式说明

齿距

t = \dfrac{\pi D}{Z} = \pi m

齿距 $t$ = 相邻两齿在分度圆上的弧长 = $D$ × π / $Z$ ，等于 π 乘模数 $m$ ，相同模数的齿轮齿距相同。

模数

m = \dfrac{D}{Z} = \dfrac{t}{\pi}

模数 $m$ = 分度圆直径 $D$ 除以齿数 $Z$ ，是齿轮最基本的尺寸参数，互相啮合的齿轮必须具有相同的模数。

分度圆直径

D = m \cdot Z

分度圆直径 $D$ = 模数 $m$ × 齿数 $Z$ ，分度圆是定义齿轮各部分尺寸的基准圆。

齿顶圆直径

d_a = D + 2m = m(Z + 2)

齿顶圆 $d_a$ 由齿顶高 $h_a = m$ 确定，da = D + 2m = m(Z + 2)。

齿根圆直径

d_f = D - 2.5m = m(Z - 2.5)

齿根圆 $d_f$ 由齿根高 $h_f = 1.25m$ 确定（含顶隙 c* = 0.25m），df = D − 2.5m。

全齿高

h = h_a + h_f = 2.25m

全齿高 $h$ = 齿顶高 + 齿根高 = m + 1.25m = 2.25m，约为模数的 2 倍。

中心距

C = \dfrac{D_1 + D_2}{2} = \dfrac{m(Z_1 + Z_2)}{2}

一对啮合齿轮共用相同模数，中心距 $C$ = 两分度圆半径之和 = ( $D_1$ + $D_2$ ) / 2。

知识点

模数是标准化尺寸参数

分度圆与节点

标准模数系列

例题

一个齿数为 $Z_1=40$ 的齿轮，与分度圆直径为 $D_2=60\,\text{mm}$ 、齿数为 $Z_2=20$ 的齿轮相互啮合，求该齿轮的分度圆直径及两齿轮的中心距。

第一步 — 由已知齿轮求模数

m = \dfrac{D_2}{Z_2} = \dfrac{60}{20} = 3 \text{ (mm)}

第二步 — 求第一个齿轮的分度圆直径（模数相同）

D_1 = m \times Z_1 = 3 \times 40 = 120 \text{ (mm)}

第三步 — 求中心距

C = \dfrac{D_1 + D_2}{2} = \dfrac{120 + 60}{2} = 90 \text{ (mm)}

结论：D₁ = 120 mm，中心距 C = 90 mm。两个齿轮模数均为 3，满足啮合条件，可在此中心距处正常传动。

知识扩展

•英制中使用径节 $P_d$ （单位：齿/英寸）代替模数，两者关系为 $P_d$ = 25.4/m。例如模数 3 mm 对应径节约 8.47 齿/英寸。
•斜齿圆柱齿轮使用法面模数 $m_n$ （垂直于轮齿方向）和端面模数 $m_t$ = $m_n$ /cos(β)，两者之间相差螺旋角 β，中心距公式也需对应修正。
•变位齿轮通过引入变位系数 x，在不改变模数和齿数的前提下调整中心距，正变位（x>0）可增大齿根厚度、提高承载能力；负变位则减薄轮齿。变位量以模数的倍数表示。

齿轮模数与径节

输入参数

公式说明

知识点

例题

知识扩展

相关标准与参考文档

齿轮设计与选型全指南：从参数到系统设计

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）

齿轮传动类型总览：选型参考（渐开线、锥齿、蜗杆与行星传动）

齿轮模数与径节

输入参数

公式说明

知识点

例题

知识扩展

相关标准与参考文档

齿轮设计与选型全指南：从参数到系统设计

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）

齿轮传动类型总览：选型参考（渐开线、锥齿、蜗杆与行星传动）