圆锥齿轮尺寸与当量齿数

计算相交轴直齿圆锥齿轮副的分度圆锥角、当量齿数及全套尺寸参数

输入参数

Z_1

主动轮齿数

Z_2

从动轮齿数

\theta

轴交角 θ

公式说明

表1 — 锥角与当量齿数

主动轮分度圆锥角 $\gamma_{01}$

\tan\gamma_{01} = \dfrac{\sin\theta}{\dfrac{Z_2}{Z_1}+\cos\theta}

主动轮分度圆锥角 $\gamma_{01}$ 由齿数比 $Z_2$ / $Z_1$ 和轴交角 $\theta$ 决定。θ=90° 时简化为 tanγ₀₁ = Z₁/Z₂ = 1/i。

从动轮分度圆锥角 $\gamma_{02}$

\tan\gamma_{02} = \dfrac{\sin\theta}{\dfrac{Z_1}{Z_2}+\cos\theta}

从动轮分度圆锥角 $\gamma_{02}$ 。θ=90° 时 tanγ₀₂ = Z₂/Z₁ = i，两锥角之和 γ₀₁ + γ₀₂ = 90°。

轴交角约束

\theta = \gamma_{01} + \gamma_{02}

轴交角 $\theta$ = 两分度圆锥角 $\gamma_{01}$ + $\gamma_{02}$ 之和，对于最常用的直角圆锥齿轮 θ = 90°。

背锥角

\alpha_1 = 90°-\gamma_{01},\ \ \alpha_2 = 90°-\gamma_{02}

背锥角 $\alpha$ = 90° − $\gamma_0$ ，背锥面是展开当量直齿圆柱齿轮轮齿的参考面。

当量齿数

Z_{c1} = \dfrac{Z_1}{\cos\gamma_{01}},\quad Z_{c2} = \dfrac{Z_2}{\cos\gamma_{02}}

当量齿数 $Z_c$ = $Z$ / cos $\gamma_0$ ，以当量齿数代入刘易斯公式可进行弯曲强度计算。

表2 — 斜齿圆锥齿轮尺寸

分度圆直径

D_1 = mZ_1, \quad D_2 = mZ_2

分度圆直径 $D$ = 大端模数 $m$ × 齿数 $Z$ ，大端模数取标准模数系列值。

齿顶圆直径

D_{a1} = D_1 + 2m\cos\gamma_{01}, \quad D_{a2} = D_2 + 2m\cos\gamma_{02}

齿顶圆直径 $D_a$ = $D$ + 2 $m$ cos $\gamma_0$ ，cosγ₀ 因子反映了锥面投影。

锥距

A = \dfrac{D_1}{2\sin\gamma_{01}} = \dfrac{D_2}{2\sin\gamma_{02}}

锥距 $A$ = 顶点到大端分度圆的斜向距离，两啮合齿轮的锥距相等。

齿顶角与齿根角

\beta = \arctan\!\dfrac{m}{A}, \quad \delta = \arctan\!\dfrac{1.25m}{A}

齿顶角 $\beta$ = arctan( $m$ / $A$ )；齿根角 $\delta$ = arctan(1.25 $m$ / $A$ )，均沿节锥面度量。

顶锥角与根锥角

\gamma_{b} = \gamma_0 + \beta, \quad \gamma_{d} = \gamma_0 - \delta

顶锥角 $\gamma_b$ = γ₀ + β（齿顶向外展开），根锥角 $\gamma_d$ = γ₀ − δ（齿根向内收缩），用于磨齿和检验。

知识点

相交轴传动

圆锥齿轮用于两轴线相交的传动场合，最常见的是 θ = 90° 的直角锥齿轮副。一对互相啮合的圆锥齿轮的节锥顶点重合，两节锥的半锥角分别为 γ₀₁ 和 γ₀₂，且 γ₀₁ + γ₀₂ = θ。

背锥与当量齿轮

弯曲强度计算时，将锥齿轮轮齿展开成以背锥为参考面的当量直齿圆柱齿轮，其齿数 Zc = Z/cosγ₀ > Z。当量齿数用于刘易斯弯曲应力公式，确保强度计算的保守性。

圆锥齿轮的类型

按轮齿方向分为：直齿（最简单）、斜齿（传动较平稳）和曲线齿（弧齿/螺旋锥齿，承载能力强、噪声低）。锥齿轮支承多为悬臂式，需保证足够刚度，并注意轴向力的处理。

例题

已知两轴垂直相交（ $\theta=90°$ ）的圆锥齿轮传动，转速比 $i=2$ ，求两齿轮的分度圆锥角。

第一步 — 求主动轮分度圆锥角

\tan\gamma_{01} = \dfrac{\sin 90°}{\dfrac{Z_2}{Z_1}+\cos 90°} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{1}{2} = 0.5

\gamma_{01} = \arctan(0.5) \approx 26°34'

第二步 — 求从动轮分度圆锥角

\tan\gamma_{02} = \dfrac{\sin 90°}{\dfrac{Z_1}{Z_2}+\cos 90°} = i = 2

\gamma_{02} = \arctan(2) \approx 63°26'

验证 — 两锥角之和等于轴交角

\gamma_{01} + \gamma_{02} = 26°34' + 63°26' = 90° = \theta \checkmark

结论：γ₀₁ ≈ 26°34′，γ₀₂ ≈ 63°26′，两角之和 = 90° = θ ✓

知识扩展

•圆锥齿轮的轴向力 $F_a = F_t \cdot \tan\gamma_0 \cdot \sin\alpha$ （ $\alpha$ 为压力角），需要由轴承承受，通常采用圆锥滚子轴承或角接触球轴承来同时承受径向力和轴向力。
•螺旋锥齿轮（弧齿锥齿轮）螺旋角通常为 25°~45°，传动平稳、承载能力强，广泛用于汽车差速器和高速减速机。当两轴轴线不相交时称为准双曲面齿轮（hypoid gear）。
•弯曲强度校验时以当量齿数 Zc 代入刘易斯公式，Zc > Z 意味着圆锥齿轮的弯曲承载能力低于相同齿数和模数的直齿圆柱齿轮，计算中应使用大端模数进行保守设计。

圆锥齿轮尺寸与当量齿数

计算相交轴直齿圆锥齿轮副的分度圆锥角、当量齿数及全套尺寸参数

输入参数

Z_1

主动轮齿数

Z_2

从动轮齿数

\theta

轴交角 θ

公式说明

表1 — 锥角与当量齿数

主动轮分度圆锥角 $\gamma_{01}$

\tan\gamma_{01} = \dfrac{\sin\theta}{\dfrac{Z_2}{Z_1}+\cos\theta}

主动轮分度圆锥角 $\gamma_{01}$ 由齿数比 $Z_2$ / $Z_1$ 和轴交角 $\theta$ 决定。θ=90° 时简化为 tanγ₀₁ = Z₁/Z₂ = 1/i。

从动轮分度圆锥角 $\gamma_{02}$

\tan\gamma_{02} = \dfrac{\sin\theta}{\dfrac{Z_1}{Z_2}+\cos\theta}

从动轮分度圆锥角 $\gamma_{02}$ 。θ=90° 时 tanγ₀₂ = Z₂/Z₁ = i，两锥角之和 γ₀₁ + γ₀₂ = 90°。

轴交角约束

\theta = \gamma_{01} + \gamma_{02}

轴交角 $\theta$ = 两分度圆锥角 $\gamma_{01}$ + $\gamma_{02}$ 之和，对于最常用的直角圆锥齿轮 θ = 90°。

背锥角

\alpha_1 = 90°-\gamma_{01},\ \ \alpha_2 = 90°-\gamma_{02}

背锥角 $\alpha$ = 90° − $\gamma_0$ ，背锥面是展开当量直齿圆柱齿轮轮齿的参考面。

当量齿数

Z_{c1} = \dfrac{Z_1}{\cos\gamma_{01}},\quad Z_{c2} = \dfrac{Z_2}{\cos\gamma_{02}}

当量齿数 $Z_c$ = $Z$ / cos $\gamma_0$ ，以当量齿数代入刘易斯公式可进行弯曲强度计算。

表2 — 斜齿圆锥齿轮尺寸

分度圆直径

D_1 = mZ_1, \quad D_2 = mZ_2

分度圆直径 $D$ = 大端模数 $m$ × 齿数 $Z$ ，大端模数取标准模数系列值。

齿顶圆直径

D_{a1} = D_1 + 2m\cos\gamma_{01}, \quad D_{a2} = D_2 + 2m\cos\gamma_{02}

齿顶圆直径 $D_a$ = $D$ + 2 $m$ cos $\gamma_0$ ，cosγ₀ 因子反映了锥面投影。

锥距

A = \dfrac{D_1}{2\sin\gamma_{01}} = \dfrac{D_2}{2\sin\gamma_{02}}

锥距 $A$ = 顶点到大端分度圆的斜向距离，两啮合齿轮的锥距相等。

齿顶角与齿根角

\beta = \arctan\!\dfrac{m}{A}, \quad \delta = \arctan\!\dfrac{1.25m}{A}

齿顶角 $\beta$ = arctan( $m$ / $A$ )；齿根角 $\delta$ = arctan(1.25 $m$ / $A$ )，均沿节锥面度量。

顶锥角与根锥角

\gamma_{b} = \gamma_0 + \beta, \quad \gamma_{d} = \gamma_0 - \delta

顶锥角 $\gamma_b$ = γ₀ + β（齿顶向外展开），根锥角 $\gamma_d$ = γ₀ − δ（齿根向内收缩），用于磨齿和检验。

知识点

相交轴传动

背锥与当量齿轮

圆锥齿轮的类型

例题

已知两轴垂直相交（ $\theta=90°$ ）的圆锥齿轮传动，转速比 $i=2$ ，求两齿轮的分度圆锥角。

第一步 — 求主动轮分度圆锥角

\tan\gamma_{01} = \dfrac{\sin 90°}{\dfrac{Z_2}{Z_1}+\cos 90°} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{1}{2} = 0.5

\gamma_{01} = \arctan(0.5) \approx 26°34'

第二步 — 求从动轮分度圆锥角

\tan\gamma_{02} = \dfrac{\sin 90°}{\dfrac{Z_1}{Z_2}+\cos 90°} = i = 2

\gamma_{02} = \arctan(2) \approx 63°26'

验证 — 两锥角之和等于轴交角

\gamma_{01} + \gamma_{02} = 26°34' + 63°26' = 90° = \theta \checkmark

结论：γ₀₁ ≈ 26°34′，γ₀₂ ≈ 63°26′，两角之和 = 90° = θ ✓

知识扩展

•圆锥齿轮的轴向力 $F_a = F_t \cdot \tan\gamma_0 \cdot \sin\alpha$ （ $\alpha$ 为压力角），需要由轴承承受，通常采用圆锥滚子轴承或角接触球轴承来同时承受径向力和轴向力。
•螺旋锥齿轮（弧齿锥齿轮）螺旋角通常为 25°~45°，传动平稳、承载能力强，广泛用于汽车差速器和高速减速机。当两轴轴线不相交时称为准双曲面齿轮（hypoid gear）。
•弯曲强度校验时以当量齿数 Zc 代入刘易斯公式，Zc > Z 意味着圆锥齿轮的弯曲承载能力低于相同齿数和模数的直齿圆柱齿轮，计算中应使用大端模数进行保守设计。

圆锥齿轮尺寸与当量齿数

输入参数

公式说明

知识点

例题

知识扩展

相关标准与参考文档

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）

齿轮传动类型总览：选型参考（渐开线、锥齿、蜗杆与行星传动）

圆锥齿轮尺寸与当量齿数

输入参数

公式说明

知识点

例题

知识扩展

相关标准与参考文档

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）

齿轮传动类型总览：选型参考（渐开线、锥齿、蜗杆与行星传动）