受扭转和弯曲同时作用的轴径

计算同时承受扭矩和弯矩的轴的直径，使用等效弯矩法和等效扭矩法。

输入参数

M

最大弯矩

N·mm

T

最大扭矩

N·mm

\sigma

许用弯曲应力

MPa

\tau

许用扭转应力

MPa

公式解读

等效扭矩

T_e = \sqrt{M^2 + T^2} \quad \text{(N}{\cdot}\text{mm)}

$M$ 为作用在轴上的最大弯矩（N·mm）； $T$ 为最大扭矩（N·mm）； $T_e$ 为等效扭矩。

等效弯矩

M_e = \dfrac{1}{2}(M + T_e) \quad \text{(N}{\cdot}\text{mm)}

$T_e$ 为等效扭矩； $M_e$ 将两种载荷合并为等效弯矩。

实心轴 — 等效弯矩法

d = \sqrt[3]{\dfrac{10M_e}{\sigma}} \quad \text{(mm)}

使用等效弯矩 $M_e$ 和许用弯曲应力 $\sigma$ （MPa）。

空心轴 — 等效弯矩法

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{10M_e}{(1-k^4)\sigma}} \quad \text{(mm)}

$k$ 为内外径比； $d_2$ 为外径。

实心轴 — 等效扭矩法

d = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{\tau}} \quad \text{(mm)}

使用等效扭矩 $T_e$ 和许用扭转应力 $\tau$ （MPa）。

空心轴 — 等效扭矩法

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{(1-k^4)\tau}} \quad \text{(mm)}

使用等效扭矩 $T_e$ 、内外径比 $k$ 和许用扭转应力 $\tau$ 。

知识点：组合载荷下的轴设计

通常轴的截面是圆形的。因为受扭矩和弯矩的作用，所以设计时必须考虑到轴要有足够的强度，能够承受弯曲、扭转和剪切载荷的作用。求轴的直径时，应分别计算只受弯矩或扭矩作用时的轴径，然后取其中数值较大的。

例题

求同时受到 $4{\times}10^5\,\text{N}{\cdot}\text{mm}$ 弯矩和 $6{\times}10^5\,\text{N}{\cdot}\text{mm}$ 扭矩作用的空心轴的内径和外径。已知轴的许用弯曲应力为 $50\,\text{MPa}$ ，许用扭转应力为 $25\,\text{MPa}$ ， $k=0.5$ 。

第一步 — 由公式④求等效扭矩 Tₑ

T_e = \sqrt{M^2 + T^2} = \sqrt{(4{\times}10^5)^2 + (6{\times}10^5)^2} \approx 7.21{\times}10^5 \text{ (N}{\cdot}\text{mm)}

第二步 — 由公式①求等效弯矩 Mₑ

M_e = \dfrac{1}{2}(M + T_e) = \dfrac{1}{2}(4{\times}10^5 + 7.21{\times}10^5) \approx 5.61{\times}10^5 \text{ (N}{\cdot}\text{mm)}

第三步 — 由公式⑥求空心轴外径 d₂（等效扭矩法）

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{(1-k^4)\tau}} = \sqrt[3]{\dfrac{5{\times}7.21{\times}10^5}{(1-0.5^4){\times}25}} \approx 53.6 \text{ (mm)}

第四步 — 由 k = d₁/d₂ 求内径 d₁

d_1 = k \cdot d_2 = 0.5 \times 54 = 27 \text{ (mm)}

因此，取空心轴的外径 d₂ = $54\,\text{mm}$ ，内径 d₁ = $27\,\text{mm}$ 。

知识扩展

•当轴的材料是碳钢等塑性材料时，常常会因为剪切应力而被破坏，所以只需要计算等效扭矩。
•如果是铸铁和淬火钢等脆性材料时，因弯曲应力被破坏的可能性较大，所以只需要计算等效弯矩。
•实际设计时，应取两种方法中较大的直径值，以确保对两种破坏模式都有足够的安全裕度。

受扭转和弯曲同时作用的轴径

计算同时承受扭矩和弯矩的轴的直径，使用等效弯矩法和等效扭矩法。

输入参数

M

最大弯矩

N·mm

T

最大扭矩

N·mm

\sigma

许用弯曲应力

MPa

\tau

许用扭转应力

MPa

公式解读

等效扭矩

T_e = \sqrt{M^2 + T^2} \quad \text{(N}{\cdot}\text{mm)}

$M$ 为作用在轴上的最大弯矩（N·mm）； $T$ 为最大扭矩（N·mm）； $T_e$ 为等效扭矩。

等效弯矩

M_e = \dfrac{1}{2}(M + T_e) \quad \text{(N}{\cdot}\text{mm)}

$T_e$ 为等效扭矩； $M_e$ 将两种载荷合并为等效弯矩。

实心轴 — 等效弯矩法

d = \sqrt[3]{\dfrac{10M_e}{\sigma}} \quad \text{(mm)}

使用等效弯矩 $M_e$ 和许用弯曲应力 $\sigma$ （MPa）。

空心轴 — 等效弯矩法

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{10M_e}{(1-k^4)\sigma}} \quad \text{(mm)}

$k$ 为内外径比； $d_2$ 为外径。

实心轴 — 等效扭矩法

d = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{\tau}} \quad \text{(mm)}

使用等效扭矩 $T_e$ 和许用扭转应力 $\tau$ （MPa）。

空心轴 — 等效扭矩法

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{(1-k^4)\tau}} \quad \text{(mm)}

使用等效扭矩 $T_e$ 、内外径比 $k$ 和许用扭转应力 $\tau$ 。

知识点：组合载荷下的轴设计

例题

第一步 — 由公式④求等效扭矩 Tₑ

T_e = \sqrt{M^2 + T^2} = \sqrt{(4{\times}10^5)^2 + (6{\times}10^5)^2} \approx 7.21{\times}10^5 \text{ (N}{\cdot}\text{mm)}

第二步 — 由公式①求等效弯矩 Mₑ

M_e = \dfrac{1}{2}(M + T_e) = \dfrac{1}{2}(4{\times}10^5 + 7.21{\times}10^5) \approx 5.61{\times}10^5 \text{ (N}{\cdot}\text{mm)}

第三步 — 由公式⑥求空心轴外径 d₂（等效扭矩法）

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{5T_e}{(1-k^4)\tau}} = \sqrt[3]{\dfrac{5{\times}7.21{\times}10^5}{(1-0.5^4){\times}25}} \approx 53.6 \text{ (mm)}

第四步 — 由 k = d₁/d₂ 求内径 d₁

d_1 = k \cdot d_2 = 0.5 \times 54 = 27 \text{ (mm)}

因此，取空心轴的外径 d₂ = $54\,\text{mm}$ ，内径 d₁ = $27\,\text{mm}$ 。

知识扩展

•当轴的材料是碳钢等塑性材料时，常常会因为剪切应力而被破坏，所以只需要计算等效扭矩。
•如果是铸铁和淬火钢等脆性材料时，因弯曲应力被破坏的可能性较大，所以只需要计算等效弯矩。
•实际设计时，应取两种方法中较大的直径值，以确保对两种破坏模式都有足够的安全裕度。