螺旋弹簧

计算螺旋弹簧的扭转应力、伸缩量和弹簧常数。

输入参数

W

载荷

D

弹簧中径

d

弹簧丝直径

N_e

有效圈数

压缩弹簧：Ne = N − 2；拉伸弹簧：Ne = N

G

切变模量

GPa

钢材约 80 GPa；青铜约 40 GPa

公式讲解

变量说明

W—载荷（N）

D—弹簧中径（mm）

d—弹簧丝直径（mm）

k—应力修正系数

c—弹簧指数（c = D/d，一般为 4～10）

Ne—有效圈数

G—切变模量（MPa）

δ—伸缩量（mm）

① 扭转应力

\tau = k\,\dfrac{8DW}{\pi d^3} \quad \text{(MPa)}

τ 为弹簧丝截面的最大切应力； $W$ 为载荷； $D$ 为弹簧中径； $d$ 为丝径； $k$ 为 Wahl 曲率修正系数。

② Wahl 修正系数

k = \dfrac{4c-1}{4c-4}+\dfrac{0.615}{c}

$c$ 为弹簧指数（ $c$ = $D$ / $d$ ），通常为 4～10。修正系数 $k$ 将内侧曲率引起的应力集中纳入计算。

③ 伸缩量

\delta = \dfrac{8N_e D^3 W}{G d^4} \quad \text{(mm)}

$N_e$ 为有效圈数； $G$ 为切变模量（MPa）。伸缩量与圈数和中径的三次方成正比。

④ 弹簧常数

\kappa = \dfrac{W}{\delta} = \dfrac{G d^4}{8N_e D^3} \quad \text{(N/mm)}

弹簧常数 $\kappa$ （刚度）表示产生单位变形所需的力，即 $\kappa$ = $W$ / $\delta$ 。

⑤ 弹簧指数

c = \dfrac{D}{d}

$c$ = $D$ / $d$ ，反映弹簧的相对粗细。 $c$ 越大，弹簧越柔软但曲率应力越小。

知识点

弹簧常数（刚度） $\kappa$ 是弹簧所受载荷与伸缩量之比，单位 N/mm。压缩弹簧两端磨平后，总圈数比有效圈数多 2（ $N_e$ = N − 2）；拉伸弹簧有效圈数等于总圈数（ $N_e$ = N）。作用在弹簧上的切应力在弹簧内侧较大、外侧较小，Wahl 修正系数 $k$ 用于修正内侧应力集中效应。

例题

有一螺旋弹簧，弹簧中径 $D = 50\,\text{mm}$ ，弹簧丝直径 $d = 5\,\text{mm}$ ，有效圈数 $N_e = 10$ ，切变模量 $G = 80\,\text{GPa}$ 。求施加 $W = 100\,\text{N}$ 载荷时的伸缩量、修正系数、扭转应力和弹簧常数。

第 1 步 — 求弹簧指数与 Wahl 修正系数（公式②）

c = \dfrac{D}{d} = \dfrac{50}{5} = 10 \quad k = \dfrac{4\times10-1}{4\times10-4}+\dfrac{0.615}{10} = 1.14

第 2 步 — 求伸缩量 $\delta$ （公式③）

\delta = \dfrac{8\times10\times50^3\times100}{80{,}000\times5^4} = \dfrac{10^9}{5\times10^7} = 20 \text{ mm}

第 3 步 — 求扭转应力 $\tau$ （公式①）

\tau = 1.14\times\dfrac{8\times50\times100}{\pi\times5^3} \approx 116 \text{ MPa}

第 4 步 — 求弹簧常数 $\kappa$ （公式④）

\kappa = \dfrac{W}{\delta} = \dfrac{100}{20} = 5 \text{ N/mm}

结论：伸缩量 $\delta = 20\,\text{mm}$ ，扭转应力 $\tau \approx 116\,\text{MPa}$ ，弹簧常数 $\kappa = 5\,\text{N/mm}$ 。

扩展知识

•弹簧材料的切变模量 G 是决定弹簧刚度的关键参数：碳钢弹簧约 80 GPa，不锈钢约 73 GPa，磷青铜约 40 GPa，铍铜约 48 GPa。
•弹簧指数 c 一般控制在 4～10 范围内：c 过小时弹簧难以绕制且应力集中严重；c 过大时弹簧容易失稳（侧向弯曲）。
•压缩弹簧的压并高度 H₀ = d × N（总圈数），设计时须保证工作变形量小于 H₀，防止弹簧被完全压并损坏。
•弹簧的疲劳寿命主要受最大切应力和应力幅影响。在变载荷工况下，应以修正后的应力幅验算疲劳安全系数，通常要求安全系数不低于 1.3。
•螺旋弹簧广泛应用于汽车悬架、工业夹具、阀门弹簧、精密仪器缓冲减振等场景，选型时需综合考虑载荷、行程、疲劳寿命与环境腐蚀条件。