受扭矩轴直径

计算受扭矩作用时实心轴和空心轴的所需直径。

输入参数

T

扭矩

N·mm

\tau

扭转应力

MPa

公式说明

实心轴

d = \sqrt[3]{\dfrac{5T}{\tau}} \quad \text{(mm)}

适用于实心圆柱轴。 $T$ 为最大扭矩（N·mm）， $\tau$ 为许用扭转切应力（MPa）。

空心轴

d_2 = \sqrt[3]{\dfrac{5T}{\tau(1-k^4)}} \quad \text{(mm)}

适用于空心轴。 $k$ 为内外径之比（ $k$ = $d_1$ / $d_2$ ）。空心轴质量更轻，但具有更高的截面系数。

知识点

轴的用途

轴以动力传递为目的，主要受扭转、弯曲和扭矩的作用，根据应用场合承受不同的载荷组合。

许用应力条件

作用在轴上的最大应力不能超过许用应力，该条件决定了轴所需的最小直径。

空心轴与实心轴

空心轴比相同截面积的实心轴具有更大的截面惯性矩，因此具有重量轻、抗扭转和弯曲能力强的特点。

例题

求受 2 × 10⁵ N·mm 扭矩作用的实心轴直径。另外，如果是空心轴，外径为 30 mm，求内径。设许用扭转应力为 50 MPa。

由公式①求实心轴直径

代入 T = 2 × 10⁵ N·mm，τ = 50 MPa：

d = \sqrt[3]{\dfrac{5T}{\tau}} = \sqrt[3]{\dfrac{5 \times 2 \times 10^5}{50}} \approx 27.1 \text{ (mm)}

因此，取轴的直径为 28 mm。

由公式②求空心轴直径（外径 d₂ = 30 mm）

首先计算径比 k：

k = \sqrt[4]{1 - \dfrac{5T}{d_2^3 \tau}} = \sqrt[4]{1 - \dfrac{5 \times 2 \times 10^5}{30^3 \times 50}} \approx 0.713

由 $k$ = $d_1$ / $d_2$ 可知：

d_1 = k \cdot d_2 = 0.713 \times 30 \approx 21.4 \text{ (mm)}

因此，取空心轴的内径为 20 mm。

实心轴：d = 28 mm；空心轴（d₂ = 30 mm）：d₁ = 20 mm。

知识扩展

•因轴的规格尺寸已被 JIS 标准化，所以应按标准选择轴的规格尺寸，计算结果应向上取整至最近的标准值。
•传递转矩的轴，在轴的外径处产生最大剪切应力。空心轴靠近中心的材料对抗扭贡献很小，因此去除后（即做成空心轴）并不会显著降低强度。
•当轴同时受到弯矩和扭矩作用时，需先用合成应力公式计算当量应力，再进行轴径设计。