平板弹簧

计算矩形、梯形和三角形平板弹簧的弯曲应力和自由端挠度。

输入参数

板簧类型

W

载荷

l

自由长度

b

宽度（固定端）

t

厚度

E

弹性模量

GPa

钢 ≈ 210 GPa；不锈钢 ≈ 193 GPa；磷青铜 ≈ 110 GPa

公式讲解

① 弯曲应力

\sigma = \dfrac{6Wl}{bt^2} \quad \text{(MPa)}

弯曲应力 $\sigma$ 采用矩形截面悬臂梁模型计算。 $W$ 为载荷， $l$ 为自由长度， $b$ 为固定端宽度， $t$ 为厚度。此公式适用于矩形和梯形板簧。

② 矩形板簧挠度

\delta = \dfrac{4Wl^3}{bt^3 E} \quad \text{(mm)}

对于矩形板簧（等宽）， $k$ = 1。挠度与长度 $l$ 的三次方成正比，与弹性模量 $E$ 及厚度 $t$ 的三次方成反比。

③ 梯形板簧挠度

\delta = k\,\dfrac{4Wl^3}{bt^3 E} \quad \text{(mm)}

对于梯形板簧，挠度需乘以修正系数 $k$ ，其取决于宽度比 b₁/b。当 b₁/b = 1（矩形）时， $k$ = 1；当 b₁/b = 0（三角形）时， $k$ = 1.5。

④ 三角形板簧挠度

\delta = \dfrac{6Wl^3}{bt^3 E} \quad \text{(mm)}

三角形板簧是梯形板簧的特例，自由端宽度 b₁ = 0，此时 $k$ = 1.5。挠度公式简化为 $\delta = \dfrac{6Wl^3}{bt^3 E}$ 。

知识点

平板弹簧的弯曲应力可按矩形截面的悬臂梁求得。对于矩形板簧，各处弯曲应力不一样，固定端处的弯曲应力最大。梯形板簧各处的弯曲应力相同，因此材料利用率更高。

例题

一块矩形板簧宽度为 $b = 12\,\text{mm}$ ，厚度为 $t = 2\,\text{mm}$ ，长度为 $l = 100\,\text{mm}$ 。当自由端施加 $W = 50\,\text{N}$ 的载荷时，问应力和挠度各为多少？已知弹性模量 $E = 210\,\text{GPa}$ 。

步骤 1 — 求弯曲应力 σ（公式 ①）

\sigma = \dfrac{6 \times 50 \times 100}{12 \times 2^2} = \dfrac{30\,000}{48} = 625 \text{ MPa}

步骤 2 — 求自由端的挠度 δ（公式 ②）

\delta = \dfrac{4 \times 50 \times 100^3}{12 \times 2^3 \times 210 \times 10^3} = \dfrac{2 \times 10^8}{2.016 \times 10^7} \approx 9.92 \text{ mm}

因此：弯曲应力 $\sigma = 625\,\text{MPa}$ ，自由端挠度 $\delta \approx 9.92\,\text{mm}$ 。

扩展知识

•矩形板簧可认为是梯形板簧自由端宽度与固定端宽度的比值 b₁/b = 1（k = 1）时的特例。
•三角形板簧可认为是梯形板簧宽度比 b₁/b = 0（k = 1.5）时的特例。其挠度公式简化为 δ = 6Wl³/(bt³E)。
•梯形板簧沿长度方向弯曲应力均匀，材料利用率优于矩形板簧。
•平板弹簧广泛应用于汽车悬架、铁路转向架及重型机械中，适用于需要紧凑、大载荷弹簧元件的场合。
•多片式板簧将多片长度递减的簧片叠在一起，有效刚度约为单片弹簧的 n 倍（n 为簧片数量）。