应变与泊松比

计算轴向应变、剪应变，以及通过泊松比求横向变形和截面积。

输入参数

l

原始长度

l'

变形量

公式解读

轴向应变 — 公式①

\varepsilon = \dfrac{l'}{l} \quad \text{(dimensionless)}

$l$ 为原始长度（mm）； $l'$ 为变形量（mm）； $\varepsilon$ 为无量纲应变。

剪应变 — 公式②

\gamma = \dfrac{\lambda}{l} = \tan\varphi \approx \varphi \quad \text{(rad)}

$\lambda$ 为横向位移（mm）； $l$ 为单元高度（mm）；小角度时 $\gamma$ ≈ $\varphi$ （弧度）。

泊松比 — 公式③

\nu = \dfrac{\varepsilon_1}{\varepsilon} = \dfrac{1}{m}

$\varepsilon_1$ 为横向应变； $\varepsilon$ 为轴向应变； $\nu$ 为泊松比； $m$ 为泊松数。

泊松数 — 公式④

m = \dfrac{1}{\nu} = \dfrac{\varepsilon}{\varepsilon_1}

$m$ = 1/ $\nu$ 为泊松比的倒数。

知识点

轴向应变

轴向应变 ε 是变形量与原始长度之比。拉应变为正（伸长），压应变为负（缩短）。若用 l'' 表示变形量，则 ε = l''/l。

剪应变

剪应变 γ 是单元在剪切载荷作用下的角变形。对于小角度，γ = λ/l ≈ tan φ ≈ φ（弧度）。

泊松比与泊松数

泊松比 ν 是横向应变与轴向应变之比：ν = ε₁/ε。其倒数 m = 1/ν 称为泊松数。在弹性限度内，给定材料的泊松比为常数。

例题

某铝材长度为 $l = 100\,\text{mm}$ ，截面为边长 $b = 30\,\text{mm}$ 的正方形。当铝材两端受压缩载荷作用后，长度压缩量为 $l' = 0.78\,\text{mm}$ 。已知铝的泊松比为 $\nu = 0.34$ ，求压缩后的截面面积。

解题步骤一 — 计算轴向应变 ε

\varepsilon = \dfrac{l'}{l} = \dfrac{0.78}{100} = 0.0078

解题步骤二 — 利用泊松比计算横向应变 ε₁

\varepsilon_1 = \dfrac{1}{m} \cdot \varepsilon = \nu \cdot \varepsilon = 0.34 \times 0.0078 = 0.002652

解题步骤三 — 求压缩后截面边长

b' = b(1 + \varepsilon_1) = 30 \times (1 + 0.002652) \approx 30.08 \text{ (mm)}

解题步骤四 — 计算压缩后截面积

A = b'^2 = 30.08^2 \approx 905 \text{ (mm}^2\text{)}

压缩后截面面积为 $\approx 905\,\text{mm}^2$ 。

扩展知识

•泊松比是有限元分析（FEA）中模拟复杂载荷下三维变形的基本材料参数。
•对于不可压缩材料（如橡胶、生物组织），ν ≈ 0.5，即在载荷下体积保持不变。
•剪应变与剪应力通过剪切模量 G 相关联：τ = G·γ，类似于正应力的胡克定律。
•在复合材料中，泊松比随纤维方向而变化，多轴应变分析在航空航天和汽车设计中至关重要。
•应变片直接测量表面应变，广泛应用于结构健康监测、测力传感器和实验应力分析。