截面惯性矩与截面系数

计算矩形和圆形截面的截面惯性矩（I）和截面系数（Z），以及平行移轴定理

输入参数

b

宽度

h

高度（弯曲方向）

公式解读

截面惯性矩 — 定义

I = \sum y^2 \Delta a \quad (\text{mm}^4)

截面惯性矩对每个面积微元 Δa 与其到中性轴距离 y 的平方之积求和。I 越大，截面抵抗弯曲的能力越强。I 是截面的纯几何性质，与材料无关。

截面系数 — 一般形式

Z_c = \frac{I}{y_c}, \quad Z_t = \frac{I}{y_t}

对于非对称截面，受压边缘 (y_c) 和受拉边缘 (y_t) 到中性轴的距离不同，截面系数也不同。对于对称截面，Z_c = Z_t = Z = I/y，y 为到任一边缘的距离。

矩形

I = \frac{bh^3}{12}, \quad Z = \frac{bh^2}{6}

矩形截面，b 为宽度，h 为弯曲方向的高度。注意 I 与 h 的三次方成正比：h 加倍则 I 增大 8 倍，但 Z 只增大 4 倍。因此梁应以较大尺寸为竖向布置。

圆形

I = \frac{\pi d^4}{64}, \quad Z = \frac{\pi d^3}{32}

直径为 d 的实心圆截面。圆形截面对任意轴对称，故各方向的 I 和 Z 相同。空心圆截面（圆管）可在减小自重的同时保持较高的抗弯能力。

平行移轴定理

I_s = I + Al^2

将惯性矩从形心轴平移到与之平行、相距 l 的轴。A 为整个截面面积。该定理是计算组合截面的基础：先计算各组成部分对其自身形心轴的 I，再利用移轴定理统一到公共参考轴后求和。

知识点

矩形截面的放置方向至关重要

同一根 100×210 mm 矩形截面梁，h=210 mm 竖放时 Z = 735 000 mm³，旋转 90° 后仅为 350 000 mm³，竖放时抗弯强度是横放的 2.1 倍。这正是楼板搁栅和工字钢截面始终以腹板竖置的原因。

截面系数直接决定弯曲应力

最大弯曲应力 σ_max = M/Z，弯矩 M 相同时，Z 越大应力越小。合理选择截面形状和放置方向是降低弯曲应力的最直接手段。

I 与 Z 对应不同设计目标

计算挠度（刚度）时使用 I（δ ∝ 1/(EI)）；计算弯曲应力（强度）时使用 Z（σ = M/Z）。截面可能 I 很大但 Z 较小，例如极深极窄的 T 形梁——极边纤维距中性轴很远，Z 反而不大。

移轴定理 — 组合截面

求工字形、槽形等组合截面的 I 时，将截面分解为若干矩形，分别计算各部分对其自身形心轴的 I₀，再用移轴定理 I_s = I₀ + Ae² 换算到组合截面形心轴，最后求和。

计算示例

一根矩形截面梁，尺寸为 100 mm × 210 mm。比较梁以方向 (a)（h=210 mm 竖放）和方向 (b)（h=100 mm 竖放，旋转 90°）使用时的抗弯强度。

已知条件

• 截面尺寸：b × h = 100 mm × 210 mm
• 方向 (a)：h = 210 mm 竖放（强轴）
• 方向 (b)：h = 100 mm 竖放（弱轴，旋转 90°）

求解过程

第一步 — 方向 (a) 的截面系数（h=210 mm 竖放）

Z_{(a)} = \frac{bh^2}{6} = \frac{100 \times 210^2}{6} = 735{,}000\,\text{mm}^3

第二步 — 方向 (b) 的截面系数（h=100 mm 竖放）

Z_{(b)} = \frac{bh^2}{6} = \frac{210 \times 100^2}{6} = 350{,}000\,\text{mm}^3

第三步 — 弯曲应力比较

\sigma_{(a)} = \frac{M}{Z_{(a)}} = \frac{M}{735{,}000} \qquad \sigma_{(b)} = \frac{M}{Z_{(b)}} = \frac{M}{350{,}000}

第四步 — 应力之比

\frac{\sigma_{(b)}}{\sigma_{(a)}} = \frac{735{,}000}{350{,}000} \approx 2.1

方向 (b) 在相同弯矩下产生的应力是方向 (a) 的 2.1 倍。因此，将较大尺寸竖置的方向 (a) 比方向 (b) 的使用强度高 2.1 倍。

拓展知识

•工字钢（H 型钢）通过翼缘将材料集中在远离中性轴的位置，大幅提高了 $I$ 和 $Z$ ，同等质量下优于实心矩形。腹板连接翼缘并承受剪力。工字截面是单位重量抗弯强度最高的形状之一。
•空心圆管（外径 $D$ ，内径 $d$ ）： $I = \pi(D^4 - d^4)/64$ ， $Z = \pi(D^4 - d^4)/(32D)$ 。去除中性轴附近贡献微弱的核心材料可减轻自重，同时保留大部分抗弯能力。
•T 形梁的受压翼缘 $y_c$ 与受拉底边 $y_t$ 不等，导致 $Z_c \neq Z_t$ 。混凝土抗拉性能差，因此配筋靠近受拉边，截面设计以 $Z_t$ 为控制值（受拉先达到极限）。
•结构钢规范提供标准型钢的弹性截面系数 $S$ 和塑性截面系数 $Z_p$ 查阅表。设计时只需计算所需 $Z = M_{design} / \sigma_{allow}$ ，再从型钢表中选取满足要求的截面，无需手工积分。
•当钢与混凝土等两种材料共同参与抗弯时，用模量比 $n = E_1/E_2$ 将较弱材料换算为等效面积的较强材料，再用移轴定理计算组合截面的 $I$ ，进而求弯曲应力。