悬臂梁 — 集中载荷

计算受集中载荷作用的悬臂梁的支座反力、剪力和弯矩

输入参数

W

载荷

l

跨度

公式解读

支座反力

R = W \quad \text{(N)}

由竖向平衡，固定端 A 处的支座反力必须等于施加载荷 W，方向向上。这是悬臂梁唯一的外部反力。

剪力

F = -W \quad \text{(N)}

从任意截面右侧取自由体：仅有外力 W 作用，故截面上剪力恒为 −W，沿整个跨度保持不变。

弯矩

M_x = Wx \quad (0 \le x \le l) \qquad M_{\max} = Wl

弯矩从自由端（x = 0，M = 0）到固定端（x = l，M = Wl）线性变化。固定端截面弯矩最大，称为危险截面。

知识点

危险截面

弯矩最大的截面正应力最大，最容易发生破坏，称为危险截面。对于端部集中载荷的悬臂梁，危险截面始终位于固定端。

剪力图（SFD）为常数

由于梁上没有中间载荷，剪力沿全梁保持恒定（−W），SFD 为平行于梁轴线的一条直线，这是端部载荷悬臂梁的典型特征。

弯矩图（BMD）为线性

弯矩从自由端（M = 0）到固定端（M = Wl）线性增大，BMD 呈直角三角形。此线性分布表明固定端附近最需要加强截面或增加配筋。

计算示例

如图所示悬臂梁，跨度 l = 1000 mm，自由端承受集中载荷 W = 2000 N。试绘制剪力图（SFD）和弯矩图（BMD），并求最大弯矩。

已知条件

• 跨度：l = 1000 mm
• 自由端集中载荷：W = 2000 N

求解过程

第一步 — 支座反力（公式①）

R = W = 2000 \text{ N}

第二步 — 剪力（公式②）

F = -W = -2000 \text{ N} \quad \text{(constant, parallel to beam axis)}

第三步 — 弯矩（公式③）

M_x = Wx = 2000x \quad (0 \le x \le 1000 \text{ mm})

第四步 — 最大弯矩

M_{\max} = Wl = 2000 \times 1000\,\text{N·mm} = 2000\,\text{N·m}

结果：支座反力 R = 2000 N（向上），剪力 F = −2000 N（常数），最大弯矩 Mmax = 2000 N·m，位于固定端 A 处。

拓展知识

•跳水板和阳台都是典型的悬臂结构，端部承受集中载荷。设计时需根据固定端的最大弯矩选取截面，并验算剪力承载力。
•起重机吊臂本质上是悬臂梁，吊起的载荷 W 作用于端部。固定端（与立柱连接处）的弯矩等于 W × 臂长，这也是起重量随臂长增大而减小的原因。
•由于弯矩线性变化，最优化的悬臂梁截面应在固定端最深（最大），在自由端最浅（最小）。这种变截面设计可节省材料，同时保持全梁各截面应力相近。
•在危险截面处，最大正应力为 σmax = Mmax / W截面（W截面为截面抗弯模量）。受拉侧纤维伸长，受压侧纤维缩短，两侧之间存在中性轴。
•当载荷突然施加或冲击到自由端时，动态弯矩可远超静态值（突加载荷的动力系数可达 2 以上）。实际设计中必须乘以冲击系数或动力放大系数。