两端支撑梁 — 集中载荷

计算受集中载荷作用的两端支撑梁的支座反力、剪力和弯矩

输入参数

W_1

载荷 1

W_2

载荷 2

l_1

A 到载荷 C 的距离

l_2

A 到载荷 D 的距离

l

梁的跨度

公式解读

支座反力（单载荷）

\begin{aligned} R_A &= \dfrac{Wl_2}{l} \\[6pt] R_B &= \dfrac{Wl_1}{l} \end{aligned}

对 B 点取矩求得 R_A，再由竖向平衡求 R_B。各支座所承受的力与其到载荷作用点的距离成反比。

剪力（单载荷）

\begin{aligned} F_1 &= -R_A \quad \text{(in AC)} \\[6pt] F_2 &= R_B \quad \text{(in CB)} \end{aligned}

各段剪力恒定，在载荷作用点 C 处发生突变（大小等于载荷 W）。剪力在 C 处从负变正，说明 C 处弯矩最大。

弯矩（单载荷）

\begin{aligned} M_C &= R_A l_1 = \dfrac{Wl_1 l_2}{l} \\[6pt] M_{\max} &= M_C \end{aligned}

弯矩在剪力变号处（载荷作用点 C）取得最大值，在两端支座处均为零，从支座到 C 点线性增大。

支座反力（两个载荷）

\begin{aligned} R_B &= \dfrac{W_1 l_1 + W_2 l_2}{l} \\[6pt] R_A &= W_1 + W_2 - R_B \end{aligned}

对 A 点取矩直接求得 R_B，再由竖向平衡求 R_A。最大弯矩出现在使弯矩更大的那个载荷作用点处。

知识点

剪力符号变化规则

对于两端支撑梁，弯矩在剪力由正变负的截面处取得最大值。因此只需找到剪力图中的符号变化位置，即可快速定位最大弯矩截面，无需逐点计算。

载荷位置与弯矩的关系

单个集中载荷作用在跨中时，最大弯矩 Mmax = Wl/4 为最大值。载荷偏向任意一侧均会减小 Mmax。两个等大对称载荷作用时，两载荷之间弯矩相等，弯矩图呈平顶梯形。

两端支撑梁与悬臂梁的对比

悬臂梁弯矩在固定端最大、自由端为零，弯矩图为三角形。两端支撑梁两端弯矩均为零，峰值在跨中某处，弯矩图呈三角形或帐篷形，属于正弯矩（下凸）。

计算示例

如图所示两端支撑梁，跨度 l = 1000 mm，在距 A 端 300 mm 处承受 W₁ = 5000 N，在距 A 端 700 mm 处承受 W₂ = 4000 N。求支座反力、各段剪力和最大弯矩。

已知条件

• 跨度：l = 1000 mm
• 载荷 1：W₁ = 5000 N，距 A 端 l₁ = 300 mm
• 载荷 2：W₂ = 4000 N，距 A 端 l₂ = 700 mm

求解过程

第一步 — 对 A 取矩求 $R_B$

R_B = \dfrac{5000 \times 300 + 4000 \times 700}{1000} = \dfrac{1{,}500{,}000 + 2{,}800{,}000}{1000} = 4300 \text{ N}

第二步 — 由平衡求 $R_A$

R_A = 5000 + 4000 - 4300 = 4700 \text{ N}

第三步 — 各段剪力

F_1 = -R_A = -4700\,\text{N} \quad F_2 = -R_A + W_1 = 300\,\text{N} \quad F_3 = R_B = 4300\,\text{N}

第四步 — C 点弯矩（x = 300 mm）

M_C = R_A \times l_1 = 4700 \times 300\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 1{,}410{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 1410\,\text{N}{\cdot}\text{m}

第五步 — D 点弯矩（x = 700 mm）

M_D = R_B \times (l - l_2) = 4300 \times 300\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 1{,}290{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 1290\,\text{N}{\cdot}\text{m}

第六步 — 最大弯矩

M_{\max} = \max(M_C,\, M_D) = 1410\,\text{N}{\cdot}\text{m} \quad (\text{at load point C})

结果： $R_A$ = 4700 N， $R_B$ = 4300 N；各段剪力：−4700 / +300 / +4300 N；最大弯矩 $M_{max}$ = 1410 N·m，位于距 A 端 300 mm 的 C 点处。

拓展知识

•楼板搁栅和桥梁主梁通常按两端支撑梁设计。柱传来的集中力或车辆轮轴载荷产生阶梯形剪力图和三角形/帐篷形弯矩图，是结构图中最常见的受力模式。
•当载荷（如车辆）沿梁移动时，各截面的反力和弯矩随之变化。弯矩最大值的影响线表明：单个集中载荷在跨中时弯矩最大（Mmax = Wl/4）。
•任意数量集中载荷作用下的反力和弯矩，可用叠加原理求解：分别计算每个载荷单独作用的结果再求和。这一方法的前提是结构线弹性（小变形、弹性材料）。
•两端支撑梁在集中载荷下弯矩仅在两端支座处为零，梁中不存在反弯点（弯矩不变号）。连续梁和悬挑梁则会出现反弯点，对裂缝控制和配筋设计有重要意义。
•当 Mmax 处的弯矩达到截面塑性弯矩 Mp = Zp × σy 时，该处形成塑性铰。两端支撑梁只需一个塑性铰即可形成破坏机构（不同于两端固定梁需要三个塑性铰）。