两端支撑梁 — 均布载荷

计算受均布载荷作用的两端支撑梁的支座反力、剪力和弯矩

输入参数

w

均布载荷强度

N/mm

l

梁的跨度

公式解读

支座反力

R_A = R_B = \dfrac{wl}{2}

由对称性，均布载荷被两个支座平均分担，各支座反力均为总载荷 wl 的一半。对称性也意味着剪力在跨中处恰好为零。

剪力（距 A 点距离 x）

F_x = -R_A + wx = -\dfrac{w}{2}(l - 2x)

剪力从 A 处（x=0）的 −wl/2，经跨中（x=l/2）的零，线性变化到 B 处（x=l）的 +wl/2。剪力图为一条斜直线，是全跨均布载荷两端支撑梁的典型特征。

弯矩（距 A 点距离 x）

\begin{aligned} M_x &= -\dfrac{w}{2}(lx - x^2) \\ M_{\max} &= -\dfrac{wl^2}{8} \quad \left(x = \dfrac{l}{2}\right) \end{aligned}

弯矩按向下抛物线变化（二次曲线），在两端支座处为零，在跨中达到最大值。负号表示正弯矩（下凸变形），弯矩图对称于跨中。

知识点

剪力为零 → 弯矩最大

弯矩在剪力为零的截面处取得最大值。对称均布载荷作用下，这一位置始终在跨中。该规律适用于任何载荷形式：在剪力图过零处即为最大弯矩位置。

对称抛物线弯矩图

由于荷载关于跨中对称，弯矩图也关于跨中对称：距 A 为 x 处的弯矩等于距 B 为 x 处的弯矩。可利用此对称性核验计算结果，如 M(l/4) = M(3l/4) = −3wl²/32。

支座处剪力等于支座反力

两端支撑梁（无论有无均布载荷）支座处剪力的绝对值等于支座反力。同时，支座处弯矩始终为零。这两个边界条件是绘制剪力图和弯矩图的起始点。

计算示例

两端支撑梁，跨度 l = 1000 mm，全跨受均布载荷 w = 3 N/mm（3 kN/m）。求支座反力、A、B 及跨中 C 处的剪力，以及 x = 250 mm 处和跨中的弯矩。

已知条件

• 跨度：l = 1000 mm
• 均布载荷强度：w = 3 N/mm（= 3 kN/m）

求解过程

第一步 — 支座反力（公式①）

R_A = R_B = \dfrac{wl}{2} = \dfrac{3 \times 1000}{2} = 1500 \text{ N}

第二步 — 各特征截面剪力（公式②）

\begin{aligned} F_A &= -\dfrac{wl}{2} = -1500\,\text{N} \\ F_C &= 0\,\text{N} \\ F_B &= \dfrac{wl}{2} = 1500\,\text{N} \end{aligned}

第三步 — 跨中最大弯矩（公式③）

M_{\max} = -\dfrac{wl^2}{8} = -\dfrac{3 \times 1000^2}{8} = -375{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = -375\,\text{N}{\cdot}\text{m}

第四步 — x = 250 mm 处弯矩

M_{250} = -\dfrac{3}{2}\bigl(1000 \times 250 - 250^2\bigr) = -281{,}250\,\text{N}{\cdot}\text{mm} \approx -281\,\text{N}{\cdot}\text{m}

第五步 — 对称验证（x = 750 mm）

M_{750} = -\dfrac{3}{2}\bigl(1000 \times 750 - 750^2\bigr) = -281{,}250\,\text{N}{\cdot}\text{mm} \approx -281\,\text{N}{\cdot}\text{m} \quad (\text{symmetric})

结果： $R_A$ = $R_B$ = 1500 N；剪力：A 处 −1500 N，跨中 C 处 0，B 处 +1500 N； $M_{max}$ = −375 N·m（跨中）；M(250mm) = M(750mm) = −281 N·m（对称抛物线）。

拓展知识

•每根水平梁都承受自身重量产生的均布载荷。对于两端支撑的楼板搁栅，跨中弯矩 wl²/8 是挠度和正应力校核的控制工况。施工时常通过预拱来抵消这一可预测的下挠。
•承受均匀活载（行人、停放车辆）的桥梁可按均布载荷两端支撑梁建模。抛物线形弯矩图指明了纵向配筋的位置——跨中附近最大，向支座逐渐减小。
•相同均布载荷下，悬臂梁固定端最大弯矩为 wl²/2，是两端支撑梁（wl²/8）的 4 倍。这也是两端支撑梁在承受均布载荷的长跨结构中更为高效的原因。
•若均布载荷仅覆盖梁的一部分（例如从 A 到跨中），结构不再对称，两端反力不等，剪力零点也不在跨中。弯矩最大值向受载一侧偏移。
•两端支撑梁全跨均布载荷下的最大挠度为 δmax = 5wl⁴/(384EI)，发生在跨中。挠度与跨度的四次方成正比——这是跨度加倍导致挠度增大 16 倍的原因，也是长跨结构需要设置中间支座的关键依据。