正应力与剪应力

利用 σ = N/A 与 τ = F/A 计算任意截面的正应力和剪应力。

截面积:

输入参数

N

内力

A

截面积

mm²

公式解读

正应力 — 公式①

\sigma = \dfrac{N}{A} \quad \text{(MPa)}

$N$ 为垂直于截面的内力（N）； $A$ 为截面面积（mm²）； $\sigma$ 为正应力（MPa）。

剪应力 — 公式②

\tau = \dfrac{F}{A} \quad \text{(MPa)}

$F$ 为平行于截面的内力（N）； $A$ 为截面面积（mm²）； $\tau$ 为剪应力（MPa）。

圆形截面积

A = \dfrac{\pi}{4}\,d^2 \quad \text{(mm}^2\text{)}

$d$ 为直径（mm）； $A$ 为截面面积（mm²）。

知识点

正应力

由与截面垂直的内力产生的应力称为正应力（σ）。拉伸载荷产生正值正应力，压缩载荷产生负值正应力。

剪应力

由与截面平行的内力产生的应力称为剪应力（τ）。剪应力使材料产生角变形（扭曲变形）。

应力的五种类型

应力与拉伸、压缩、剪切、弯曲、扭转这 5 种载荷相对应，有 5 种应力。正应力（拉伸和压缩）和剪应力（剪切）可视为单应力；弯曲和扭转的应力可用单应力来表示。弯曲应力是拉伸应力与压缩应力的复合；扭转应力就是剪应力；应力是张量。

例题

如图所示，某直径为 $30\,\text{mm}$ 的圆杆两端受 $4000\,\text{N}$ 的拉力作用（即图中 W = N），求圆杆内的拉应力。

解题步骤一 — 确定内力

W = N = 4000\,\text{N}

解题步骤二 — 计算截面积

A = \dfrac{\pi}{4}d^2 = \dfrac{\pi}{4} \times 30^2 = 225\pi \approx 706.86\,\text{mm}^2

解题步骤三 — 代入公式①

\sigma = \dfrac{N}{A} = \dfrac{4000}{225\pi} \approx 5.66\,\text{MPa}

圆杆内的拉应力为 $\approx 5.66\,\text{MPa}$ 。

扩展知识

•在土木结构工程中，正应力分析是受轴向载荷的柱、梁和缆绳设计的基础。
•剪应力在传递剪切载荷的螺栓、销钉、焊缝和胶合接头的设计中至关重要。
•组合载荷（同时存在正应力和剪应力）需要采用冯·米塞斯或特雷斯卡等失效准则进行安全设计。
•对于复合材料或变截面构件，应力分布不均匀，需要采用有限元分析等更高级的方法。
•动载荷在缺口、孔洞和截面变化处引起应力集中，疲劳分析中必须应用应力集中系数（ $K_t$ ）预测使用寿命。