轴扭转分析

计算圆形截面轴（实心或空心）在扭矩作用下的剪应力、扭转角和传动功率

输入参数

T

扭矩

N·m

d

轴径

[\tau]

许用剪应力()

MPa

公式解读

极惯性矩 — 实心圆截面

I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}

截面各微面积 ρ²Δa 之和。对直径为 d 的实心圆： $I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}$ 。

抗扭截面系数 — 实心圆截面

Z_p = \dfrac{\pi d^3}{16}

Z_p = I_p / r。实心圆截面： $Z_p = \dfrac{\pi d^3}{16}$ 。最大剪应力出现在外缘处。

极惯性矩 — 空心圆截面

I_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32}

对外径 d₂、内径 d₁ 的空心截面： $I_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32}$ 。去除低应力的中心材料，几乎不降低抗扭刚度。

抗扭截面系数 — 空心圆截面

Z_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{16\,d_2}

空心截面： $Z_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{16\,d_2}$ 。除以外径半径 d₂/2 得到最大应力处的截面系数。

由扭矩求剪应力

\tau = \dfrac{T}{Z_p}

公式 ⑦：最大剪应力 $\tau$ 与扭矩 $T$ 成正比，与 $Z_p$ 成反比。

由扭转角直接求剪应力

\tau = G \cdot \dfrac{r\,\theta}{l}

公式 ②：由扭转角直接求剪应力。 $\tau$ 与横弹性模量 $G$ 和外径半径 $r$ 成正比，与轴长成反比。

扭转角公式

\theta = \dfrac{T\,l}{G\,I_p} \quad (\text{rad})

公式 ③：扭转角 $\theta$ （rad）。乘以 57.3 换算为度数。

刚度条件

\varphi \leq 0.25 \,{^\circ\!/\text{m}}

刚度条件：单位长度扭转角不超过 0.25 °/m（即每米 1/4°）。这是传动轴的标准刚度极限。

由功率求扭矩

T = \dfrac{60\,000}{2\pi} \times \dfrac{P \times 10^3}{N} \approx \dfrac{9550 \, P}{N} \quad (\text{N·m})

公式 ④：精确推导 T = P×60/(2π×n)。当 $P$ 单位为 kW、 $N$ 单位为 r/min 时，T ≈ 9550×P/N（N·m）。

知识点

扭转剪应变

轴受扭时，平行于轴线的任意纤维均扭曲成螺旋线。剪应变 γ = r·θ/l，其中 r 为外径半径，θ 为扭转角（rad），l 为轴长。剪应变沿径向线性分布，在中性轴处为零，在外缘处最大。

截面极惯性矩

I_p = Σρ²Δa 衡量截面抵抗扭转的能力——类比于弯曲中的截面惯性矩。空心轴去除了靠近轴心（ρ 小、贡献低）的材料，以显著降低重量的代价，几乎保留了全部扭转刚度。

刚度条件

传动轴的刚度极限通常为 0.25 °/m（每米 1/4°），以避免振动和不对中。有时刚度条件比强度条件更为严格，会要求更大的轴径。

例题

直径 30 mm、长 500 mm 的圆杆在扭矩作用下，当扭转角达到 1° 时，求此时杆内产生的剪应力。已知 $82\,\text{GPa}$ 。

第 1 步 — 由扭转角直接求剪应力（公式 ②）

\tau = G \cdot \dfrac{r\,\theta}{l} = 82\times10^3 \times \dfrac{15 \times \frac{\pi}{180}}{500} = 42.9 \;\text{MPa}

第 2 步 — 通过截面参数验证

I_p = \dfrac{\pi \times 30^4}{32} \approx 79{,}522 \;\text{mm}^4

Z_p = \dfrac{\pi \times 30^3}{16} \approx 5{,}301 \;\text{mm}^3

T = \tau \cdot Z_p = 42.9 \times 5{,}301 \approx 227{,}400 \;\text{N·mm} = 227.4 \;\text{N·m}

第 3 步 — 由扭矩验证扭转角（公式 ③）

\theta = \dfrac{T\,l}{G\,I_p} = \dfrac{227{,}400 \times 500}{82{,}000 \times 79{,}522} \approx 0.01745 \;\text{rad} = 1°

结论：τ = $42.9\,\text{MPa}$ 。三种方法均得到相同结果，验证了公式 ①②③ 的一致性。

扩展知识

•对有多个转矩输入的轴（如变速箱轴），应先绘制扭矩图：扭矩沿轴长变化，最大值决定设计截面。
•圣维南扭转理论仅适用于圆形截面。非圆形截面（矩形、工字钢等）的剪应力分布不均匀，需要用普朗特应力函数或有限元法分析。
•在疲劳载荷下，许用剪应力 [τ] 需考虑键槽、凹槽及过盈配合处的应力集中系数。弯曲与扭转组合受力时，采用 von Mises 准则或 Tresca 准则进行综合强度校核。

轴扭转分析

计算圆形截面轴（实心或空心）在扭矩作用下的剪应力、扭转角和传动功率

输入参数

T

扭矩

N·m

d

轴径

[\tau]

许用剪应力()

MPa

公式解读

极惯性矩 — 实心圆截面

I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}

截面各微面积 ρ²Δa 之和。对直径为 d 的实心圆： $I_p = \dfrac{\pi d^4}{32}$ 。

抗扭截面系数 — 实心圆截面

Z_p = \dfrac{\pi d^3}{16}

Z_p = I_p / r。实心圆截面： $Z_p = \dfrac{\pi d^3}{16}$ 。最大剪应力出现在外缘处。

极惯性矩 — 空心圆截面

I_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32}

对外径 d₂、内径 d₁ 的空心截面： $I_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{32}$ 。去除低应力的中心材料，几乎不降低抗扭刚度。

抗扭截面系数 — 空心圆截面

Z_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{16\,d_2}

空心截面： $Z_p = \dfrac{\pi (d_2^4 - d_1^4)}{16\,d_2}$ 。除以外径半径 d₂/2 得到最大应力处的截面系数。

由扭矩求剪应力

\tau = \dfrac{T}{Z_p}

公式 ⑦：最大剪应力 $\tau$ 与扭矩 $T$ 成正比，与 $Z_p$ 成反比。

由扭转角直接求剪应力

\tau = G \cdot \dfrac{r\,\theta}{l}

公式 ②：由扭转角直接求剪应力。 $\tau$ 与横弹性模量 $G$ 和外径半径 $r$ 成正比，与轴长成反比。

扭转角公式

\theta = \dfrac{T\,l}{G\,I_p} \quad (\text{rad})

公式 ③：扭转角 $\theta$ （rad）。乘以 57.3 换算为度数。

刚度条件

\varphi \leq 0.25 \,{^\circ\!/\text{m}}

刚度条件：单位长度扭转角不超过 0.25 °/m（即每米 1/4°）。这是传动轴的标准刚度极限。

由功率求扭矩

T = \dfrac{60\,000}{2\pi} \times \dfrac{P \times 10^3}{N} \approx \dfrac{9550 \, P}{N} \quad (\text{N·m})

公式 ④：精确推导 T = P×60/(2π×n)。当 $P$ 单位为 kW、 $N$ 单位为 r/min 时，T ≈ 9550×P/N（N·m）。

知识点

扭转剪应变

截面极惯性矩

刚度条件

传动轴的刚度极限通常为 0.25 °/m（每米 1/4°），以避免振动和不对中。有时刚度条件比强度条件更为严格，会要求更大的轴径。

例题

直径 30 mm、长 500 mm 的圆杆在扭矩作用下，当扭转角达到 1° 时，求此时杆内产生的剪应力。已知 $82\,\text{GPa}$ 。

第 1 步 — 由扭转角直接求剪应力（公式 ②）

\tau = G \cdot \dfrac{r\,\theta}{l} = 82\times10^3 \times \dfrac{15 \times \frac{\pi}{180}}{500} = 42.9 \;\text{MPa}

第 2 步 — 通过截面参数验证

I_p = \dfrac{\pi \times 30^4}{32} \approx 79{,}522 \;\text{mm}^4

Z_p = \dfrac{\pi \times 30^3}{16} \approx 5{,}301 \;\text{mm}^3

T = \tau \cdot Z_p = 42.9 \times 5{,}301 \approx 227{,}400 \;\text{N·mm} = 227.4 \;\text{N·m}

第 3 步 — 由扭矩验证扭转角（公式 ③）

\theta = \dfrac{T\,l}{G\,I_p} = \dfrac{227{,}400 \times 500}{82{,}000 \times 79{,}522} \approx 0.01745 \;\text{rad} = 1°

结论：τ = $42.9\,\text{MPa}$ 。三种方法均得到相同结果，验证了公式 ①②③ 的一致性。

扩展知识

•对有多个转矩输入的轴（如变速箱轴），应先绘制扭矩图：扭矩沿轴长变化，最大值决定设计截面。
•圣维南扭转理论仅适用于圆形截面。非圆形截面（矩形、工字钢等）的剪应力分布不均匀，需要用普朗特应力函数或有限元法分析。
•在疲劳载荷下，许用剪应力 [τ] 需考虑键槽、凹槽及过盈配合处的应力集中系数。弯曲与扭转组合受力时，采用 von Mises 准则或 Tresca 准则进行综合强度校核。