弹性模量与弹性能

利用胡克定律（σ = Eε，τ = Gγ，U = W²l/2AE）计算应力、变形量和弹性能。

材料预设:

截面积:

输入参数

W

拉力

l

长度

d

直径

E

纵弹性模量

GPa

公式解读

正应力 — 公式①

\sigma = E\varepsilon = \dfrac{W \cdot l}{A \cdot \lambda} \quad \text{(MPa)}

$E$ 为纵弹性模量（GPa）； $\varepsilon$ 为轴向应变； $W$ 为力（N）； $l$ 为长度（mm）； $A$ 为截面积（mm²）； $\lambda$ 为变形量（mm）。

剪应力 — 公式②

\tau = G\gamma = \dfrac{W_s \cdot l}{A \cdot \lambda_s} = \dfrac{W_s}{A\varphi} \quad \text{(MPa)}

$G$ 为横弹性模量（GPa）； $\gamma$ 为剪应变； $W_s$ 为剪力（N）； $\varphi$ 为剪切角（rad）。

弹性能 — 公式③

U = \dfrac{\sigma^2}{2E}\,Al = \dfrac{1}{2}W\lambda = \dfrac{W^2 l}{2AE} \quad \text{(N·m)}

$U$ 为储存的弹性能（N·m）； $\sigma$ 为正应力（MPa）； $E$ 为纵弹性模量（GPa）； $W$ 为力（N）； $\lambda$ 为变形量（mm）。

知识点

纵弹性模量 E

纵弹性模量 E（杨氏模量）是正应力与轴向应变之比：E = σ/ε。它是表征材料刚度的常数，E 越大则抵抗变形的能力越强。

横弹性模量 G

横弹性模量 G（剪切弹性模量）是剪应力与剪应变之比：G = τ/γ。对于各向同性材料，G = E/[2(1+ν)]。

弹性能

物体在外力作用下由应变变形所储存的能量称为弹性能。在弹性限度内，弹性能为 U = ½Wλ，卸载后可完全恢复。单位体积弹性能密度为 u = σ²/(2E)。

例题

80 kN 的拉力作用在直径 $d = 25\,\text{mm}$ 、长度 $l = 1\,\text{m}$ 的低碳钢圆杆上，已知纵弹性模量 $E = 200\,\text{GPa}$ ，求此圆杆中存储的弹性能。

解题步骤一 — 计算截面积

A = \dfrac{\pi}{4}d^2 = \dfrac{\pi}{4} \times 25^2 = \dfrac{625\pi}{4} \approx 490.87\,\text{mm}^2

解题步骤二 — 计算正应力 σ

\sigma = \dfrac{W}{A} = \dfrac{80{,}000}{490.87} \approx 163.0\,\text{MPa}

解题步骤三 — 计算变形量 λ = Wl/(AE)

\lambda = \dfrac{W \cdot l}{A \cdot E} = \dfrac{80{,}000 \times 1000}{490.87 \times 200{,}000} \approx 0.815\,\text{mm}

解题步骤四 — 计算弹性能 U = W²l/(2AE)

U = \dfrac{W^2 l}{2AE} = \dfrac{(80 \times 10^3)^2 \times 1000}{2 \times 490.87 \times 200{,}000} \approx 32.6\,\text{N·m}

圆杆中储存的弹性能为 $U \approx 32.6\,\text{N·m}$ 。

扩展知识

材料	E（GPa）	G（GPa）	ν
低碳钢	206	82	0.29
高碳钢	200	78	0.28
铸铁	157	61	0.26
铜	123	46	0.34
黄铜	100	37	0.35
钛	103	—	—
铝	73	26	0.34
硬铝	72	27	0.34
玻璃	71	29	0.35
混凝土	20	—	0.2

•对于各向同性材料，三个弹性常数满足 G = E/[2(1+ν)]，已知任意两个即可求第三个。
•单位体积弹性能密度 u = σ²/(2E) 在断裂力学中用于确定裂纹扩展的能量释放率。
•在弹簧设计中，弹性能存储能力决定了弹簧能够吸收或释放的能量，对减震器和气门弹簧至关重要。
•以比刚度（E/ρ，ρ为密度）为基础的材料选择，在航空航天领域以最小重量实现最大刚度中尤为关键。
•超过弹性极限后，能量以热量形式耗散并产生永久变形。弹塑性界限即材料的屈服强度。

材料

E（GPa）

G（GPa）

低碳钢

206

0.29

高碳钢

200

0.28

铸铁

157

0.26

铜

123

0.34

黄铜

100

0.35

钛

103

—

铝

0.34

硬铝

0.34

玻璃

0.35

混凝土

—

0.2