弯曲应力

计算梁的弯曲应力、设计矩形截面尺寸，以及分析弯矩与曲率半径的关系

输入参数

M

弯矩

N·m

Z

截面系数

mm³

公式解读

纤维 y 处的弯曲应力

\sigma = \varepsilon E = \dfrac{y}{\rho} E

在距中性轴 y 处的纤维上，应变 ε = y/ρ（ρ 为曲率半径）。乘以弹性模量 E 得弯曲应力。应力在中性轴处为零，在边缘纤维处最大。

弯矩与曲率半径的关系

\begin{aligned} M &= \dfrac{E}{\rho} I \\ \rho &= \dfrac{EI}{M} \end{aligned}

对截面上的纤维应力分布积分得到弯矩 M = (E/ρ)·I。变形后得曲率半径 ρ = EI/M。抗弯刚度 EI 越大，同等弯矩下曲率越小（梁越刚）。

设计公式 — 截面系数

\begin{aligned} M &= \sigma_b Z \\ \sigma_b &= \dfrac{M}{Z} \end{aligned}

联立上述两式消去 ρ 和 E，得实用设计公式。给定弯矩 M，最大弯曲应力为 σ_b = M/Z。要使应力不超过许用值 [σ]，需选截面系数 Z ≥ M/[σ]。

矩形截面的 I 和 Z

\begin{aligned} I &= \dfrac{bh^3}{12} \\ Z &= \dfrac{bh^2}{6} \end{aligned}

宽 b 高 h 的矩形截面。设 h = n·b（长宽比），截面系数变为 Z = (n²/6)·b³，由此求出 b = ∛(6Z/n²)，再由 h = n·b 得截面高度。

知识点

中性层与中性轴

梁弯曲时，既不伸长也不缩短的层称为中性层，中性层与横截面的交线称为中性轴（N 轴）。对均匀对称截面，中性轴过截面形心。弯曲应力从中性轴量起。

应力线性分布

弯曲应力沿截面高度线性变化：中性轴处为零，上边缘最大受压（ $\sigma_c = M \cdot y_c/I$ ），下边缘最大受拉（ $\sigma_t = M \cdot y_t/I$ ）。对称截面 $y_c = y_t = h/2$ ，故 $\sigma_c = \sigma_t = M/Z$ 。

截面系数 Z 决定强度

由 $\sigma_b = M/Z$ 可知，在弯矩相同时， $Z$ 越大应力越小。将矩形梁的较大尺寸竖向放置（增大 $h$ ）是提高 $Z$ 、降低弯曲应力最有效的手段。

抗弯刚度 EI 决定刚度

弹性模量 $E$ 与截面惯性矩 $I$ 的乘积 $EI$ 称为抗弯刚度，控制挠度 $\delta \propto 1/(EI)$ 。强度（ $\sigma$ ）和刚度（ $\delta$ ）需分别验算，两者相互独立。

计算示例

简支梁跨度 1000 mm，距 A 点 400 mm 处作用 4000 N 集中力（C 点），距 A 点 700 mm 处作用 2000 N 集中力（D 点），许用弯曲应力 [σ] = 60 MPa，截面为矩形且 b:h = 1:2，求截面尺寸。

已知条件

• 跨度：l = 1000 mm
• 集中力 1：4000 N，作用于 C 点（距 A 400 mm）
• 集中力 2：2000 N，作用于 D 点（距 A 700 mm）
• 许用弯曲应力：[σ] = 60 MPa
• 长宽比：h = 2b（n = 2）

求解过程

第一步 — 支座反力

R_A = R_B = 3000\,\text{N}

第二步 — C、D 两点弯矩

\begin{aligned} M_C &= -3000 \times 400 \times 10^{-3} = -1200\,\text{N}{\cdot}\text{m} \\ M_D &= -3000 \times 700 \times 10^{-3} + 4000 \times 300 \times 10^{-3} = -900\,\text{N}{\cdot}\text{m} \end{aligned}

第三步 — 最大弯矩

M_{\max} = -1200\,\text{N}{\cdot}\text{m} \quad (\text{at C})

第四步 — 所需截面系数（公式③）

Z = \dfrac{M}{\sigma_b} = \dfrac{1200}{60 \times 10^6} = 20{,}000 \times 10^{-9}\,\text{m}^3 = 20{,}000\,\text{mm}^3

第五步 — 截面宽度（h = 2b）

Z = \dfrac{1}{6}b(2b)^2 = \dfrac{2}{3}b^3 = 20{,}000 \implies b^3 = 30{,}000 \implies b = \sqrt[3]{30{,}000} \approx 31.1\,\text{mm}

第六步 — 截面高度

h = 2b = 2 \times 31.1 \approx 62.2\,\text{mm}

结果：最大弯矩 $M_{max}$ = 1200 N·m（C 点处）；所需截面系数 $Z$ = 20 000 mm³；矩形截面： $b$ ≈ 31.1 mm， $h$ ≈ 62.2 mm（ $h$ = 2 $b$ ）。

拓展知识

•工字钢将材料集中在距中性轴最远的翼缘处，在相同截面积下大幅提高了 I 和 Z。腹板主要承受剪力，翼缘承受弯曲应力，实现了材料的最优分配。
•混凝土抗压而不抗拉（强度比约 10:1），因此在受拉区配置钢筋承受拉应力。中性轴位置偏向受压区，应力分布不再对称，需按组合截面方法分析。
•梁同时受轴力 $N$ 时，截面某纤维处总正应力为 $\sigma = N/A \pm M \cdot y/I$ 。中性轴偏离形心，一侧纤维可能率先达到屈服应力，这是柱的偏心受压问题。
•弹性极限时仅边缘纤维达到屈服应力 $\sigma_y$ 。继续加载，屈服向内扩展，最终形成塑性铰。全塑性弯矩 $M_p = \sigma_y \cdot Z_p$ ，形状系数 $f = Z_p/Z$ （矩形为 1.5）反映超出弹性极限后的储备承载力。
•循环荷载下，即使应力远低于静强度也可能发生疲劳破坏。缺口、孔洞和截面突变引起局部应力集中（应力集中系数 $K_t > 1$ ），显著降低疲劳寿命。疲劳评估时名义弯曲应力 $\sigma_b = M/Z$ 须乘以 $K_t$ 。