悬臂梁 — 均布载荷

计算受均布载荷作用的悬臂梁的支座反力、剪力和弯矩

输入参数

w

均布载荷强度

N/mm

l

跨度

公式解读

支座反力

R = wl \quad \text{(N)}

强度为 w（N/mm）的均布载荷在全跨 l 上等效于集中力 W = wl（N），作用于跨中。固定支座必须提供等量的向上反力。

剪力

F_x = wx \quad (0 \le x \le l)

剪力从自由端（x = 0，F = 0）到固定端（x = l，F = wl）线性变化，剪力图（SFD）为一条斜直线（一次函数）。

弯矩

M_x = \dfrac{wx^2}{2} \qquad M_{\max} = \dfrac{wl^2}{2}

弯矩从自由端（M = 0）到固定端（M = wl²/2）按抛物线增大，弯矩图（BMD）为二次曲线。固定端截面弯矩最大，为危险截面。

知识点

均布载荷的等效转化

长度为 l 上强度为 w（N/mm）的均布载荷，可等效为大小 W = wl（N）、作用于荷载区域形心（即跨中 l/2 处）的集中力。这一等效简化了支座反力的计算。

剪力图为线性

与集中端载荷产生常数剪力图不同，均布载荷产生线性变化的剪力。剪力从自由端的零增大到固定端的最大值 wl，剪力图为一条斜直线。

弯矩图为抛物线

均布载荷作用下弯矩按二次抛物线分布，这是因为弯矩是剪力的积分——对线性函数积分得到二次函数。弯矩图以自由端为顶点向上弯曲，固定端处取最大值。

计算示例

如图所示悬臂梁，跨度 l = 1500 mm，全跨受均布载荷 w = 3 N/mm（3 kN/m）。求支座反力、最大剪力和最大弯矩；并求 x = 750 mm 处的剪力和弯矩。

已知条件

• 跨度：l = 1500 mm
• 均布载荷强度：w = 3 N/mm（= 3 kN/m）
• 截面位置：x = 750 mm（从自由端 B 量起）

求解过程

第一步 — 支座反力（公式①）

R = wl = 3 \times 1500 = 4500 \text{ N}

第二步 — 固定端 A 处最大剪力（x = l）

F_{\max} = wl = 3 \times 1500 = 4500 \text{ N}

第三步 — x = 750 mm 处剪力

F_x = wx = 3 \times 750 = 2250 \text{ N}

第四步 — 固定端 A 处最大弯矩（公式③）

M_{\max} = \dfrac{wl^2}{2} = \dfrac{3 \times 1500^2}{2} = 3{,}375{,}000\,\text{N·mm} = 3375\,\text{N·m}

第五步 — x = 750 mm 处弯矩

M_x = \dfrac{wx^2}{2} = \dfrac{3 \times 750^2}{2} = 843{,}750\,\text{N·mm} = 843.75\,\text{N·m}

结果：R = 4500 N；最大剪力 F_max = 4500 N（在固定端 A）；最大弯矩 Mmax = 3375 N·m（在固定端 A）；750 mm 处：F = 2250 N，M = 843.75 N·m。

拓展知识

•从建筑外墙伸出的雨篷是典型的悬臂结构，积雪或积水形成近似均布载荷。工程师根据固定端（与墙连接处）的最大弯矩 wl²/2 确定截面尺寸。
•竖向挡土墙受侧向土压力（随深度线性变化，为三角形分布，而非均布）。均布载荷悬臂梁分析是理解这类问题的基础，实际设计需使用梯形或三角形载荷公式。
•每根水平梁都承受自身重量产生的均布载荷，大小为单位长度质量乘以 g。自重往往是长悬臂的主要载荷，必须纳入所有结构计算。
•标牌立柱或旗杆可视为受横向风压（均布）作用的竖向悬臂梁，根部弯矩为 wl²/2，此值决定了所需截面模量和基础锚栓的设计。
•抛物线形弯矩图表明固定端附近弯矩增长迅速。变截面设计（根部最大、端部最小）可使截面模量与弯矩分布相匹配，在保证安全的同时节省材料并降低自重。