梁的剪切力与弯曲力矩

计算简支梁在集中载荷作用下任意截面的剪切力和弯曲力矩

输入参数

l

梁的跨度

W

集中载荷

l_1

载荷距 A 的距离

x

查询截面位置 x

公式解读

A 处反力

R_A = \dfrac{W(l - l_1)}{l} = \dfrac{W \cdot l_2}{l}

对 B 取矩： $R_A = \dfrac{W(l - l_1)}{l} = \dfrac{W \cdot l_2}{l}$ ，消去 R_B，R_A 方向向上。

B 处反力

R_B = \dfrac{W \cdot l_1}{l}

由竖向平衡： $R_B = \dfrac{W \cdot l_1}{l}$ ，R_B 方向向上。

剪切力 — AC 段

F(x) = +R_A \quad (0 \le x < l_1)

AC 段左侧仅有 $R_A$ （向上），合力向上，故 F > 0。

剪切力 — CB 段

F(x) = R_A - W = -R_B \quad (l_1 < x \le l)

CB 段左侧有 $R_A$ （向上）和 $W$ （向下），合力向下，故 F < 0。

弯矩 — AC 段

M(x) = R_A \cdot x \quad (0 \le x \le l_1)

$R_A$ 对截面的力臂为 x，梁向下弯曲（下凸），故 M > 0。

弯矩 — CB 段

M(x) = R_A \cdot x - W(x - l_1) = R_B(l - x)

等价形式为 $R_B(l - x)$ ，弯矩从 C 向 B 线性减小至零。

最大弯矩

M_{\max} = R_A \cdot l_1 = R_B \cdot l_2

最大正弯矩，发生在载荷点 C 处。

知识点

假想截面法

在任意截面处作假想切割，取其中一侧为研究对象，由平衡条件求解内力。剪力等于该侧所有横向外力的代数和，弯矩等于该侧所有外力对截面的力矩代数和。

符号规定

剪力符号：截面左侧合力向上为正（左上右下）。弯矩符号：梁向下弯曲（截面下侧受拉）为正弯矩（正弯）。从右侧取矩时，正负号相反。

剪力图与弯矩图

剪力图（SFD）沿轴线展示 F(x) 的变化：集中力作用下为分段常数，在集中力处发生突变 W。弯矩图（BMD）展示 M(x) 的变化：为分段线性，在剪力过零处取得极值（最大或最小弯矩）。

例题

如图所示，简支梁跨度 1 m，在距 A 支点 400 mm 处施加集中载荷 $W = 2000\,\text{N}$ 。试求支点反力，以及截面 X₁（距 A 为 300 mm）和 X₂（距 A 为 700 mm）处的剪切力和弯矩。

第 1 步 — 求支点反力

R_A = \dfrac{2000 \times (1000 - 400)}{1000} = \dfrac{2000 \times 600}{1000} = 1200 \text{ N}

R_B = 2000 - 1200 = 800 \text{ N}

第 2 步 — 求剪切力

F_{X_1} = +R_A = +1200 \text{ N}

F_{X_2} = R_A - W = 1200 - 2000 = -800 \text{ N}

第 3 步 — 求弯矩

M_{X_1} = R_A \cdot x_1 = 1200 \times 300 = 360{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 360\,\text{N}{\cdot}\text{m}

M_{X_2} = R_B(l - x_2) = 800 \times (1000 - 700) = 240{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 240\,\text{N}{\cdot}\text{m}

M_{\max} = R_A \cdot l_1 = 1200 \times 400 = 480{,}000\,\text{N}{\cdot}\text{mm} = 480\,\text{N}{\cdot}\text{m}

结论： $R_A$ = 1200 N， $R_B$ = 800 N； $F(X_1)$ = +1200 N， $F(X_2)$ = −800 N； $M(X_1)$ = 360 N·m（正弯）， $M(X_2)$ = 240 N·m（正弯）。最大弯矩为 $480\,\text{N}{\cdot}\text{m}$ ，发生在 C 点处。

扩展知识

•多个集中载荷作用时，可利用叠加原理：分别计算各载荷对应的剪力和弯矩，再线性叠加。
•存在均布载荷（UDL）时，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。最大弯矩依然在剪力为零处取得。
•在结构设计中，最大弯矩 $M_{\max}$ 决定所需截面模量： $\sigma_{\max} = M_{\max} / Z \le [\sigma]$ 。增大截面高度是降低弯曲应力最有效的措施。