电阻公式

使用电阻率、长度与截面积计算电阻。

输入参数

\rho

Ω·m

L

A

m²

公式讲解

电阻串联（Series）

电阻并联（Parallel）

电阻混联（Mixed）

电阻公式

R = \rho \dfrac{L}{A}

$R$ （Ω）为电阻， $\rho$ （Ω·m）为材料电阻率， $L$ （m）为导体长度， $A$ （m²）为截面积。该公式表明电阻与长度成正比、与截面积成反比，是导线设计和电缆选型的基础。常见导体电阻率参考值：铜 $1.72 \times 10^{-8}$ Ω·m，铝 $2.82 \times 10^{-8}$ Ω·m，铁 $1.0 \times 10^{-7}$ Ω·m。

电阻串联

R = \sum_{i=1}^{n} R_i

纯串联电路中，总电阻等于各分支电阻之和。各电阻电流相同，电压降逐段叠加。

电阻并联

\dfrac{1}{R} = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{R_i}

纯并联电路中，总电导等于各支路电导之和，因此常写成倒数形式。并联等效电阻一定小于任一支路电阻。

电阻混联

\begin{aligned} R &= R_{\parallel} + \sum_{j=1}^{m} R_{s,j} \\ \dfrac{1}{R_{\parallel}} &= \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{R_{p,i}} \end{aligned}

图示混联电路可先将 $R_1$ 与 $R_2$ 的并联部分化简，再与串联的 $R_3$ 相加，得到总等效电阻。

知识点

电阻率与材料分类

电阻率 $\rho$ 是材料的固有属性，跨越约 25 个数量级：导体（铜 $\approx 10^{-8}$ Ω·m）→ 半导体（硅 $\approx 10^{3}$ Ω·m）→ 绝缘体（聚四氟乙烯 $\approx 10^{16}$ Ω·m）。相同几何尺寸下，铜的电阻约为铝的 61%，是高导电性应用的首选；铝密度更低、成本更低，常用于输电线路和汽车线束。

几何参数对电阻的影响

电阻与长度 $L$ 成正比，与截面积 $A$ 成反比。导线截面积加倍，电阻减半，通流能力提升约 41%（按 $I \propto \sqrt{A}$ 近似）。在实际工程中，增大截面积是降低线路压降和热损耗的直接手段，但会增加重量和成本；减短布线长度（如优化 PCB 走线路径）是另一种有效方法。

温度效应与温度系数

金属导体的电阻率随温度升高而增大，修正公式为 $R(T) = R_0[1 + \alpha(T - T_0)]$ ，其中 $\alpha$ 为温度系数（铜约 $3.93 \times 10^{-3}$ /°C，铝约 $4.03 \times 10^{-3}$ /°C）， $T_0$ 通常取 20°C 参考温度。相反，负温度系数（NTC）热敏电阻随温度升高电阻减小，常用于温度传感与过流保护；正温度系数（PTC）元件用于自复式过流保护。

高频下的集肤效应

在直流和低频条件下，电流均匀分布于整个截面， $R = \rho L / A$ 完全适用。但在高频交流电中，由于集肤效应（Skin Effect），电流倾向于集中在导体表面薄层，有效截面积减小，实际交流电阻 $R_{\text{AC}}$ 远大于直流电阻 $R_{\text{DC}}$ 。集肤深度 $\delta = \sqrt{\rho / (\pi f \mu)}$ ，在 1 MHz 下铜的集肤深度约 66 μm。高频电路（RF 设计、开关电源）中应使用多股绞线（Litz 线）或空心导体以降低交流电阻。

例题

铜导线的电阻率为 $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ ，长度 $L = 10\,\text{m}$ ，截面积 $A = 1\,\text{mm}^2$ ，求电阻值。

步骤 1 — 计算电阻

R = \rho \dfrac{L}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \dfrac{10}{1 \times 10^{-6}} \approx 0.17\,\Omega

步骤 2 — 并联/串联对比

R_{\parallel} = \dfrac{R}{2} = 0.085\,\Omega

R_{\text{series}} = 2R = 0.34\,\Omega

因此电阻约为 $R \approx 0.17\,\Omega$ ，两根相同导线并联为 $R_{\parallel} = 0.085\,\Omega$ ，串联为 $R_{\text{series}} = 0.34\,\Omega$ 。

扩展知识

•电导率与电导：电导 $G = 1/R$ （西门子，S）是电阻的倒数，衡量材料传导电流的能力。电导率 $\sigma = 1/\rho$ （S/m）是电阻率的倒数，国际退火铜标准（IACS）将铜的电导率定义为 100% IACS（ $5.8 \times 10^7$ S/m），其他导体导电性通常以此为基准表达（如铝约为 61% IACS）。在复杂网络分析中，用电导矩阵（导纳矩阵）列方程往往比电阻矩阵更简便。
•线规标准与单位长度电阻：美国线规（AWG）和国际标准 IEC 60228 按截面积对导线进行分级。AWG 数越小截面积越大（AWG 10 约 5.26 mm²，AWG 24 约 0.205 mm²）；国标常见规格有 1.5、2.5、4、6、10 mm² 等。铜导线在 20°C 时的单位长度电阻约为 $\rho / A$ （Ω/m），例如 2.5 mm² 铜线约 7.4 mΩ/m，400 m 回路（往返 800 m）产生约 5.9 Ω 的线路电阻，在 10 A 电流下造成约 59 V 的压降，工程设计时须核算。
•导线压降与功率损耗计算：电力系统中导线电阻引起的线路压降 $\Delta U = I \cdot R_{\text{线}}$ 和功率损耗 $P_{\text{损}} = I^2 R_{\text{线}}$ 是配电设计的核心约束。国家标准规定末端负载的允许电压偏差一般不超过 ±5%（220 V 系统允许压降约 11 V）。增大导线截面积或缩短线路长度可降低压降；输电线路采用升压方式（如 10 kV、35 kV、110 kV）大幅减小电流，从而成比例地降低线路电阻损耗。
•PCB 铜走线电阻估算：在 PCB 设计中，铜走线电阻可用 $R = \rho L / (W \cdot t)$ 估算，其中 $W$ 为线宽（m）， $t$ 为铜箔厚度（标准 1 oz 铜箔 $t \approx 35$ μm）。例如，宽 0.5 mm、长 100 mm 的 1 oz 铜走线电阻约 97 mΩ，在 1 A 电流下产生约 97 mV 压降和 97 mW 热耗散。IPC-2221 标准提供了不同温升要求下的走线宽度与电流关系曲线，是 PCB 电流容量设计的权威参考。

电阻公式

使用电阻率、长度与截面积计算电阻。

输入参数

\rho

Ω·m

L

A

m²

公式讲解

电阻串联（Series）

电阻并联（Parallel）

电阻混联（Mixed）

电阻公式

R = \rho \dfrac{L}{A}

电阻串联

R = \sum_{i=1}^{n} R_i

纯串联电路中，总电阻等于各分支电阻之和。各电阻电流相同，电压降逐段叠加。

电阻并联

\dfrac{1}{R} = \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{R_i}

纯并联电路中，总电导等于各支路电导之和，因此常写成倒数形式。并联等效电阻一定小于任一支路电阻。

电阻混联

\begin{aligned} R &= R_{\parallel} + \sum_{j=1}^{m} R_{s,j} \\ \dfrac{1}{R_{\parallel}} &= \sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{R_{p,i}} \end{aligned}

图示混联电路可先将 $R_1$ 与 $R_2$ 的并联部分化简，再与串联的 $R_3$ 相加，得到总等效电阻。

知识点

电阻率与材料分类

几何参数对电阻的影响

温度效应与温度系数

高频下的集肤效应

例题

铜导线的电阻率为 $\rho = 1.7 \times 10^{-8}\,\Omega\cdot\text{m}$ ，长度 $L = 10\,\text{m}$ ，截面积 $A = 1\,\text{mm}^2$ ，求电阻值。

步骤 1 — 计算电阻

R = \rho \dfrac{L}{A} = 1.7 \times 10^{-8} \dfrac{10}{1 \times 10^{-6}} \approx 0.17\,\Omega

步骤 2 — 并联/串联对比

R_{\parallel} = \dfrac{R}{2} = 0.085\,\Omega

R_{\text{series}} = 2R = 0.34\,\Omega

因此电阻约为 $R \approx 0.17\,\Omega$ ，两根相同导线并联为 $R_{\parallel} = 0.085\,\Omega$ ，串联为 $R_{\text{series}} = 0.34\,\Omega$ 。

扩展知识

•电导率与电导：电导 $G = 1/R$ （西门子，S）是电阻的倒数，衡量材料传导电流的能力。电导率 $\sigma = 1/\rho$ （S/m）是电阻率的倒数，国际退火铜标准（IACS）将铜的电导率定义为 100% IACS（ $5.8 \times 10^7$ S/m），其他导体导电性通常以此为基准表达（如铝约为 61% IACS）。在复杂网络分析中，用电导矩阵（导纳矩阵）列方程往往比电阻矩阵更简便。
•线规标准与单位长度电阻：美国线规（AWG）和国际标准 IEC 60228 按截面积对导线进行分级。AWG 数越小截面积越大（AWG 10 约 5.26 mm²，AWG 24 约 0.205 mm²）；国标常见规格有 1.5、2.5、4、6、10 mm² 等。铜导线在 20°C 时的单位长度电阻约为 $\rho / A$ （Ω/m），例如 2.5 mm² 铜线约 7.4 mΩ/m，400 m 回路（往返 800 m）产生约 5.9 Ω 的线路电阻，在 10 A 电流下造成约 59 V 的压降，工程设计时须核算。
•导线压降与功率损耗计算：电力系统中导线电阻引起的线路压降 $\Delta U = I \cdot R_{\text{线}}$ 和功率损耗 $P_{\text{损}} = I^2 R_{\text{线}}$ 是配电设计的核心约束。国家标准规定末端负载的允许电压偏差一般不超过 ±5%（220 V 系统允许压降约 11 V）。增大导线截面积或缩短线路长度可降低压降；输电线路采用升压方式（如 10 kV、35 kV、110 kV）大幅减小电流，从而成比例地降低线路电阻损耗。
•PCB 铜走线电阻估算：在 PCB 设计中，铜走线电阻可用 $R = \rho L / (W \cdot t)$ 估算，其中 $W$ 为线宽（m）， $t$ 为铜箔厚度（标准 1 oz 铜箔 $t \approx 35$ μm）。例如，宽 0.5 mm、长 100 mm 的 1 oz 铜走线电阻约 97 mΩ，在 1 A 电流下产生约 97 mV 压降和 97 mW 热耗散。IPC-2221 标准提供了不同温升要求下的走线宽度与电流关系曲线，是 PCB 电流容量设计的权威参考。