公法线长度

计算标准直齿轮的跨齿数与公法线长度，支持考虑侧隙的修正计算

输入参数

Z

齿数

\alpha

压力角

标准齿轮通常取 20° 或 14.5°

m

模数

公式解读

跨齿数计算

n = \dfrac{\alpha \cdot Z}{180} + 0.5

跨齿数 $n$ 的选取原则是：使公法线千分尺的测砧与渐开线齿面在接近齿高中部接触，取最近整数即为标准跨齿数。

标准公法线长度

E_{n0} = m\cos\alpha\!\left[\pi(n - 0.5) + Z \cdot \mathrm{inv}(\alpha)\right]

通用公式利用渐开线函数 $\mathrm{inv}(\alpha)$ ；对 α=20° 和 α=14.5° 的标准齿轮，可用含 $Z$ 、 $n$ 、 $m$ 的线性简化公式直接计算。

侧隙切入量及修正

\Delta t = \dfrac{B}{2\sin\alpha}

为在齿轮副中产生侧隙 $B$ ，每个齿轮均需额外切入 $\Delta t$ ，从而使公法线长度恰好减小 $B$ ，方便加工过程中直接测量控制。

知识点

公法线测量原理

公法线千分尺跨过 n 个齿，测量其公切线长度，即基圆上 n 个基节之和减去一个齿厚。该值与安装偏心误差无关，是检验齿轮精度的可靠手段。通用计算公式为 E_n0 = m·cosα·[π(n−0.5) + Z·inv(α)]。

渐开线函数 inv(α)

渐开线函数 inv(α) = tan(α) − α（α 取弧度）是渐开线齿轮几何中的基本函数。α=20° 时 inv(20°) ≈ 0.01490；α=14.5° 时 inv(14.5°) ≈ 0.00540。它描述了齿形与压力角的关系，并直接决定公法线长度对齿数的响应规律。

侧隙与切入量

侧隙 B 是啮合齿轮副中两齿面之间的切向间隙。为获得侧隙，每个齿轮须在标准切深基础上额外切入 Δt = B/(2sinα)，公法线长度恰好减小 B。因此，在滚齿或插齿加工中，只需实时测量公法线长度，当其降至 E_n0 − B 时即可停止进给，操作直观方便。

计算示例

某齿轮副参数为 $\alpha = 20°$ 、 $m = 6\,\text{mm}$ 、 $Z_1 = 17$ 、 $Z_2 = 70$ ，按标准中心距安装，要求侧隙 $B = 0.04m = 0.24\,\text{mm}$ 。由于 Z₁=17 正好处于 20° 压力角不发生根切的极限，对大齿轮进行额外切入以获得所需侧隙。

小齿轮（Z₁ = 17）——跨齿数与标准公法线长度

n = \frac{20 \times 17}{180} + 0.5 = 2.39 \approx 2

E_{n0} = (0.01401 \times 17 + 2.95213 \times 2 - 1.47606) \times 6 = 27.998\,\text{mm}

大齿轮（Z₂ = 70）——跨齿数、标准公法线及侧隙修正

n = \frac{20 \times 70}{180} + 0.5 = 8.28 \approx 8

E_{n0} = (0.01401 \times 70 + 2.95213 \times 8 - 1.47606) \times 6 = 138.730\,\text{mm}

\Delta t = \frac{0.24}{2\sin 20°} = \frac{0.24}{0.684} = 0.351\,\text{mm}

E_n = 138.730 - 0.24 = 138.490\,\text{mm}

结果：小齿轮 E_n0 = 27.998 mm（无需额外切入）；大齿轮 E_n = 138.490 mm（额外切入 Δt = 0.351 mm 以产生 B = 0.24 mm 侧隙）。

扩展知识

•在滚齿或插齿加工中，操作者持续测量公法线长度，控制径向进给，直至 E_n 达到目标值 E_n0（或含侧隙修正的 E_n）。这种方法不需要停机使用其他量具，极大提高了加工效率。
•对于变位齿轮，公法线长度的计算公式修正为 E_n = m·cosα·[π(n−0.5) + (Z + 2x·tanα)·inv(α)]，其中 x 为变位系数。相应地，跨齿数 n 也需按节圆处的啮合角重新确定。
•对于斜齿圆柱齿轮，公法线长度在法截面内测量，使用法面模数 m_n 和法面压力角 α_n，计算公式形式与直齿轮相同，但所有参数均取法面值。

公法线长度

计算标准直齿轮的跨齿数与公法线长度，支持考虑侧隙的修正计算

输入参数

Z

齿数

\alpha

压力角

标准齿轮通常取 20° 或 14.5°

m

模数

公式解读

跨齿数计算

n = \dfrac{\alpha \cdot Z}{180} + 0.5

跨齿数 $n$ 的选取原则是：使公法线千分尺的测砧与渐开线齿面在接近齿高中部接触，取最近整数即为标准跨齿数。

标准公法线长度

E_{n0} = m\cos\alpha\!\left[\pi(n - 0.5) + Z \cdot \mathrm{inv}(\alpha)\right]

通用公式利用渐开线函数 $\mathrm{inv}(\alpha)$ ；对 α=20° 和 α=14.5° 的标准齿轮，可用含 $Z$ 、 $n$ 、 $m$ 的线性简化公式直接计算。

侧隙切入量及修正

\Delta t = \dfrac{B}{2\sin\alpha}

为在齿轮副中产生侧隙 $B$ ，每个齿轮均需额外切入 $\Delta t$ ，从而使公法线长度恰好减小 $B$ ，方便加工过程中直接测量控制。

知识点

公法线测量原理

渐开线函数 inv(α)

侧隙与切入量

计算示例

小齿轮（Z₁ = 17）——跨齿数与标准公法线长度

n = \frac{20 \times 17}{180} + 0.5 = 2.39 \approx 2

E_{n0} = (0.01401 \times 17 + 2.95213 \times 2 - 1.47606) \times 6 = 27.998\,\text{mm}

大齿轮（Z₂ = 70）——跨齿数、标准公法线及侧隙修正

n = \frac{20 \times 70}{180} + 0.5 = 8.28 \approx 8

E_{n0} = (0.01401 \times 70 + 2.95213 \times 8 - 1.47606) \times 6 = 138.730\,\text{mm}

\Delta t = \frac{0.24}{2\sin 20°} = \frac{0.24}{0.684} = 0.351\,\text{mm}

E_n = 138.730 - 0.24 = 138.490\,\text{mm}

结果：小齿轮 E_n0 = 27.998 mm（无需额外切入）；大齿轮 E_n = 138.490 mm（额外切入 Δt = 0.351 mm 以产生 B = 0.24 mm 侧隙）。

扩展知识

•在滚齿或插齿加工中，操作者持续测量公法线长度，控制径向进给，直至 E_n 达到目标值 E_n0（或含侧隙修正的 E_n）。这种方法不需要停机使用其他量具，极大提高了加工效率。
•对于变位齿轮，公法线长度的计算公式修正为 E_n = m·cosα·[π(n−0.5) + (Z + 2x·tanα)·inv(α)]，其中 x 为变位系数。相应地，跨齿数 n 也需按节圆处的啮合角重新确定。
•对于斜齿圆柱齿轮，公法线长度在法截面内测量，使用法面模数 m_n 和法面压力角 α_n，计算公式形式与直齿轮相同，但所有参数均取法面值。

公法线长度

输入参数

公式解读

知识点

计算示例

扩展知识

相关标准与参考文档

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）

公法线长度

输入参数

公式解读

知识点

计算示例

扩展知识

相关标准与参考文档

齿轮设计代号速查手册（GB/T 2821 / ISO 701）