力的平衡计算器

使用拉密定理、共点力法或一般力系（非共点力）分析静力平衡

输入参数

F_1

力 F₁

F_2

力 F₂

\alpha

角 α（F₁ 对面）

\beta

角 β（F₂ 对面）

公式说明

公式 ① — 矢量平衡

\vec{F}_1 + \vec{F}_2 + \vec{F}_3 + \cdots = \vec{0}

物体处于静力平衡时，所有力的矢量和为零： $\sum\vec{F}$ = 0。

公式 ② — 拉密定理

\frac{F_1}{\sin\alpha} = \frac{F_2}{\sin\beta} = \frac{F_3}{\sin\gamma}

三个共点力平衡时，每个力除以其对面两力夹角的正弦值等于同一常数，角度满足 $\alpha + \beta + \gamma$ = 360°。

公式 ③ — 共点力坐标法

\sum X_i = 0, \quad \sum Y_i = 0

将所有力分解为 X、Y 分量，平衡条件为 $\sum X$ = 0 且 $\sum Y$ = 0。

公式 ④ — 非共点力坐标法

\sum X_i = 0, \quad \sum Y_i = 0, \quad \sum M_i = 0

对于不共点的力系，还需满足力矩方程： $\sum X$ = 0、 $\sum Y$ = 0 以及 $\sum M$ = 0。

知识要点

力的平衡

当物体同时受到若干力作用且保持静止，则这些力处于平衡状态，所有力的矢量和为零。

力矩平衡

力的平衡不能保证物体不转动。若各力平衡而力矩不平衡，物体将发生转动。完整的平衡要求两个条件同时满足。

拉密定理

三个共面共点力处于平衡时，每个力与其对面两力夹角的正弦成正比。三个夹角之和为 360°。

坐标法

将所有力分解为 X、Y 分量，分别对各方向求和。对非共点力系，需再增加力矩方程 $\sum M = 0$ = 0。

例题

一杆绕 A 端转动，B 端受 250 N 载荷，C 处绳子与杆成 30° 角，C 距 A 为 200 mm，B 距 A 为 250 mm。求绳子张力 T 与壁面支持力。

第一步 — 对 A 取矩平衡

T \times 0.200 \times \sin 30° = 250 \times 0.250

第二步 — 求解绳力 T

T = \frac{250 \times 0.250}{0.200 \times 0.5} = 625\text{ N}

第三步 — 壁面支持力

N = T \cos 30° = 625 \times 0.866 \approx 541\text{ N}

绳子张力 $T = 625\text{ N}$ ，壁面支持力 $N \approx 541\text{ N}$ 。

扩展知识

结构支座反力

梁的支座反力通过三个平衡方程 ΣX=0、ΣY=0、ΣM=0 求解，可分别求出铰支座和滚动支座的反力分量。

桁架分析

桁架每个节点是共点力系，在各节点分别应用 ΣX=0 和 ΣY=0，可求出各杆件的轴力（拉力或压力）。

绳索与滑轮系统

绳子张力和滑轮支反力可在各交汇点用拉密定理或坐标法求解。

三力构件原理

若刚体处于平衡且恰好受三个力作用，这三个力必定共点（汇交于一点）或互相平行——这就是三力构件原理。