轮轴与滑轮

计算轮轴、动滑轮组和差动滑轮系统的施力大小

输入参数

W

重力（载荷）

D

大圆柱直径

大圆柱（轮）的直径 $D$

d

小圆柱直径

小圆柱（轴）的直径 $d$，须小于 $D$

公式解读

滑轮系统图示

轮轴

F = W \cdot \dfrac{d}{D}

轮轴相当于绕公共轴旋转的杠杆，机械利益等于 $D/d$ 。例如 $D = 300\,\text{mm}$ 与 $d = 100\,\text{mm}$ 时，操作者只需施加载荷 $1/3$ 的力。

动滑轮

F = \dfrac{W}{2^n}

每增加一个动滑轮，所需施力减半；n 个动滑轮的机械利益为 $2^n$ 。代价是操作者需拉动载荷上升距离 $2^n$ 倍的绳长。

差动滑轮

F = W \cdot \dfrac{D - d}{2D}

差动滑轮（手拉葫芦）利用同轴上直径不同的两个定滑轮实现极大的机械利益。当 $D - d$ 很小时，机械利益极大。公式给出施力 $F = W(D-d)/(2D)$ 。

知识点

定滑轮与动滑轮

定滑轮固定在支架上，只改变力的方向，不改变力的大小，机械利益为 1。动滑轮随载荷一起运动，每增加一个动滑轮机械利益翻倍，但操作者需拉动更长的绳子。

轮轴原理

轮轴等效于连续杠杆：力施加在半径 D/2 处，载荷悬挂在半径 d/2 处，由杠杆原理得 F·(D/2) = W·(d/2)，故机械利益为 D/d。通过增大 D 与 d 的比值可使机械利益任意增大。

差动滑轮（手拉葫芦）

差动滑轮的工作原理：施力绳绕在大链轮（D）上，载荷绳从小链轮（d）上放出。每旋转一圈，载荷上升 (D−d)/2，而消耗绳长 πD，机械利益为 2D/(D−d)，当 D 与 d 接近时机械利益极大，且具有自锁特性，安全可靠。

计算示例

示例 ① — 轮轴

某轮轴 $D = 300\,\text{mm}$ 、 $d = 100\,\text{mm}$ ，求举起 $W = 1200\,\text{N}$ 所需的施力。

F = 1200 \times \dfrac{100}{300} = 400\,\text{N}

\text{MA} = \dfrac{300}{100} = 3

示例 ② — 3 个动滑轮

使用 $n = 3$ 个动滑轮举起 $W = 800\,\text{N}$ ，求所需施力。

F = \dfrac{800}{2^3} = \dfrac{800}{8} = 100\,\text{N},\;\text{MA} = 8

示例 ③ — 差动滑轮（教材例题）

差动滑轮的轮直径 $D = 300\,\text{mm}$ 、轴直径 $d = 250\,\text{mm}$ ，向上牵引 $W = 5000\,\text{N}$ 重物，求最小施力。

F = 5000 \times \dfrac{300 - 250}{2 \times 300} = 5000 \times \dfrac{50}{600} = 417\,\text{N}

\text{MA} = \dfrac{2 \times 300}{300 - 250} = \dfrac{600}{50} = 12

小结：差动滑轮在本例中机械利益最大（约 12 倍）；3 个动滑轮为 8 倍；轮轴为 3 倍。

扩展知识

•实际滑轮存在摩擦损耗，实际所需施力为 F实 = F理论 / η，其中 η 为传动效率（钢丝绳滑轮组通常为 0.7～0.95，润滑良好的链条葫芦可达 0.90）。
•动滑轮组（定动滑轮配合使用）中，若有 k 段绳子支撑载荷，则 F ≈ W/k（忽略摩擦）。数承载绳段数是判断机械利益最快的方法。
•差动滑轮原理广泛应用于韦斯顿差动链条葫芦，常见于汽车维修和建筑工地用于吊装发动机和结构构件。其自锁特性（松手后载荷不自动下降）使其成为高空起重的安全可靠工具。