曲柄连杆机构

计算往复式曲柄连杆机构在任意曲柄转角下的滑块位移、速度和加速度

输入参数

r

曲柄长度

l

连杆长度

\omega

角速度

rad/s

曲柄匀速旋转的角速度（rad/s）

\theta

曲柄转角

从上止点（TDC）位置计量的转角，范围 0°～360°

公式解读

图1 — 曲柄以角速度 ω 旋转；滑块 P 沿 x 轴往复运动

位移

x = r\cos\theta + l - \dfrac{r^2}{2l}\sin^2\theta

滑块连接点 P 到曲柄固定铰链 O 的位移 $x$ 。第一项 $r\cos\theta$ 为曲柄水平投影，第二项为连杆长度 $l$ ，第三项为与曲柄比 $\lambda = r/l$ 成正比的二阶修正量。

速度

v = -r\omega\sin\theta - \dfrac{r^2}{l}\,\omega\sin\theta\cos\theta

滑块 P 的速度 $v$ 。在 $\theta=0°$ 和 $\theta=180°$ （上、下止点）处速度为零；在 $\theta=90°$ 附近速度最大。第二项为有限连杆长度引起的高阶修正。

加速度

a = -r\omega^2\!\left(\cos\theta + \dfrac{r}{l}\cos 2\theta\right)

加速度 $a$ 包含频率为 $\omega$ 的一次谐波分量和频率为 $2\omega$ 的二次谐波分量。曲柄比 $\lambda$ 决定谐波失真的幅度。

知识点

上止点与下止点

θ=0° 时为上止点（TDC），滑块距曲柄铰链最远，距离为 r+l；θ=180° 时为下止点（BDC），最近距离为 l−r。两个止点处速度均为零，加速度绝对值最大，是往复运动的换向点。

曲柄比 $\lambda = r/l$

无量纲曲柄比 $\lambda = r/l$ 决定运动的非线性程度。当 λ→0（连杆极长）时，三个公式均退化为简谐运动：x≈l+r·cosθ，v≈−rω·sinθ，a≈−rω²·cosθ。实际机构的 λ 通常在 0.2～0.5 之间。

工程应用

曲柄连杆机构是活塞发动机（直线运动转旋转）、往复泵和压缩机（旋转转直线）以及插床、牛头刨床等金属切削机床的核心机构。掌握速度和加速度规律是机构平衡、力分析和疲劳寿命计算的基础。

计算示例

某曲柄连杆机构参数为 $r = 0.3\,\text{m}$ 、 $l = 1.0\,\text{m}$ 、 $\omega = 10\,\text{rad/s}$ ，求 $\theta=0°$ 、 $\theta=90°$ 、 $\theta=180°$ 、 $\theta=270°$ 时滑块的位移、速度和加速度。

\lambda = r/l = 0.3/1.0 = 0.3

θ = 0°（上止点）

x = r + l = 0.3 + 1.0 = 1.300\,\text{m}

v = 0

a = -r\omega^2\!\left(1 + \tfrac{r}{l}\right) = -0.3 \times 100 \times 1.3 = -39.0\,\text{m/s}^2

θ = 90°

x = l - \dfrac{r^2}{2l} = 1.0 - \dfrac{0.09}{2} = 0.955\,\text{m}

v = -r\omega = -0.3 \times 10 = -3.000\,\text{m/s}

a = \dfrac{r^2\omega^2}{l} = \dfrac{0.09 \times 100}{1.0} = +9.0\,\text{m/s}^2

θ = 180°（下止点）

x = -r + l = -0.3 + 1.0 = 0.700\,\text{m}

v = 0

a = r\omega^2\!\left(1 - \tfrac{r}{l}\right) = 0.3 \times 100 \times 0.7 = +21.0\,\text{m/s}^2

θ = 270°

x = l + \dfrac{r^2}{2l} = 1.0 + \dfrac{0.09}{2} = 1.045\,\text{m}

v = +r\omega = +3.000\,\text{m/s}

a = \dfrac{r^2\omega^2}{l} = +9.0\,\text{m/s}^2

行程（上止点到下止点的距离）= (r+l)−(l−r) = 2r = 0.600 m；最大速度为 rω = 3.000 m/s，出现在 θ≈90° 和 θ≈270° 处。

扩展知识

•在车床或往复式机床中，曲柄连杆机构将电动机的旋转运动转换为刀具或进给机构的直线运动。通过对加速度规律的分析，工程师可设计平衡配重，抵消惯性力，降低振动和噪声。
•在活塞发动机中，气体压力作用在活塞上，经连杆传递到曲柄销，产生曲轴扭矩。该扭矩随 θ 变化，并非恒定；飞轮在做功冲程储存动能，在其他冲程释放，从而平滑输出扭矩。
•偏置曲柄连杆机构中滑块运动轴线不过曲柄铰链 O，可实现不等于 1 的急回比（正行程与回程时间之比），常用于需要快速回程的牛头刨床等机床。